Distribuição qui-quadrado

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qui-quadrado
Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	$k> 0 \,$ graus de liberdade
Apoio	$x \ in [0; + \ Infty) \,$
PDF	$\ Frac {(1/2) ^ {k / 2}} {\ Gamma (k / 2) x ^} {k / 2 - 1} e ^ {- x / 2} \,$
CDF	$\ Frac {\ gamma (k / 2, x / 2)} {\ Gamma (k / 2)} \,$
Significar	$k \,$
Mediano	aproximadamente $k-2/3 \,$
Modo	$k-2 \,$ se $k \ geq 2 \,$
Variação	$2 \, k \,$
Assimetria	$\ Sqrt {8 / k} \,$
Ex. curtose	$12 / k \,$
Entropy	$\ Frac {k} {2} \ + \ \ ln (2 \ Gamma (k / 2)) \ + \ (1 \ -! \ K / 2)!!!! \ Psi (k / 2)$
MGF	$(1-2 \, t) ^ {- k / 2}$ para $2 \, t <1 \,$
CF	$(1-2 \, \ i, t) ^ {- k / 2} \,$

Em teoria da probabilidade e estatística , a distribuição qui-quadrado (também qui-quadrado ou $\ Chi ^ 2$ distribuição) é um dos mais amplamente utilizados teóricas distribuições de probabilidades em estatística inferencial, por exemplo, em testes de significância estatística. Ele é útil porque, sob suposições razoáveis, quantidades facilmente calculados pode ser provado ter distribuições que aproximados para a distribuição qui-quadrado, se o hipótese nula é verdadeira.

Se $X_i$ são k , independentes normalmente distribuídas variáveis aleatórias com média 0 e variância 1, então a variável aleatória

$Q = \ sum_ {i = 1} ^ k ^ 2 x_i$

é distribuído de acordo com a distribuição qui-quadrado. Isso geralmente é escrito

$Q \ sim \ chi ^ 2_k. \,$

A distribuição qui-quadrado tem um parâmetro: $k$ - Um número inteiro positivo, que especifica o número de graus de liberdade (isto é, o número de $X_i$ )

A distribuição do Qui-quadrado é um caso especial do distribuição gama.

As situações mais conhecidos em que a distribuição qui-quadrado são usados são o comum testes qui-quadrado para bondade de ajuste de uma distribuição observada para uma teórica, e do independência dos dois critérios de classificação de dados qualitativos. No entanto, muitos outros testes estatísticos levar a uma utilização desta distribuição. Um exemplo é Análise de Friedman de variância por postos.

Características

Função densidade de probabilidade

A função densidade de probabilidade da distribuição qui-quadrado é

$f (x; k) = \ begin {cases} \ displaystyle \ frac {1} {2 ^ {k / 2} \ Gamma (k / 2)} \, x ^ {(k / 2) - 1} e ^ {-x / 2} & \ texto {for} x> 0, \\ 0 & \ texto {for} x \ le0, \ end {cases}$

onde $\ Gamma$ indica o Função Gamma, que leva valores particulares nas meias-inteiros.

Função de distribuição cumulativa

Sua função de distribuição cumulativa é:

$F (x; k) = \ frac {\ gama (k / 2, X / 2)} {\ Gama (k / 2)} = P (k / 2, X / 2)$

onde $\ Gama (k, z)$ é o baixa função Gamma incompleta e $P (k, z)$ é o função Gamma regularizada.

Tabelas dessa distribuição - geralmente na sua forma cumulativa - estão amplamente disponíveis ea função é incluído em muitos planilhas e tudo pacotes estatísticos.

Função característica

O função característica da distribuição qui-quadrado é

$\ Chi. (T; k) = (1-2it) ^ {- k / 2} \,$

Propriedades

A distribuição qui-quadrado tem inúmeras aplicações em inferencial estatísticas , por exemplo em testes qui-quadrado e para a estimativa desvios . Entra o problema de calcular a média de uma população normalmente distribuídos e o problema de estimar a inclinação de uma regressão linha através do seu papel na distribuição t de Student . Ele entra tudo A análise de variância problemas através do seu papel na F-distribuição, que é a distribuição da relação de dois qui-quadrado independentes variáveis aleatórias divididos pelos seus respectivos graus de liberdade.

Aproximação normal

Se $X \ sim \ chi ^ 2_k$ , Em seguida, como $k$ tende para o infinito, a distribuição de $X$ tende a normalidade. No entanto, a tendência é lento (a assimetria é $\ Sqrt {8 / k}$ eo excesso de curtose é $12 / k$ ) E duas transformações são normalmente considerados, cada uma das quais se aproxima de normalidade mais rápido do que $X$ si:

Fisher mostrou empiricamente que $\ Sqrt {2X}$ é aproximadamente normalmente distribuído com média $\ Sqrt {2k-1}$ e uma unidade de desvio. É possível chegar ao mesmo resultado aproximação normal usando momento correspondente. Para ver isto, considere a média ea variância de uma variável aleatória Chi-distribuídos $z = \ sqrt {X}$ , Que são dadas por $\ Mu_z = \ sqrt {2} \ frac {\ Gamma \ left (k / 2 + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (k / 2 \ right)}$ e $\ Sigma_z ^ 2 = k- \ mu_z ^ 2$ , Onde $\ Gamma (\ cdot)$ é a função Gama. A proporção particular de as funções Gamma em $\ Mu_z$ tem a seguinte série de expansão :

$\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \ right)} = \ sqrt {N} \ left (1- \ frac {1} {} 8N + \ frac {1} {2} ^ 128N + \ frac {5} {3} 1024N ^ - \ frac {21} {4} 32768N ^ + \ ldots \ direita).$ Quando $N \ gg 1$ , Esta proporção pode ser estimado da seguinte forma: $\ Frac {\ Gamma \ left (N + 1/2 \ right)} {\ Gamma \ left (N \right)}\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{8N}\right)\approx\sqrt{N}\left(1-\frac{1}{4N}\right)^{0.5}=\sqrt{N-1/4}.$

Então, momento simples resultado de acordo no seguinte aproximação das $z$ : $z \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {k-1/2}, \ frac {1} {2} \ right)$ , A partir do qual se segue que $\ Sqrt {2X} \ sim {\ mathcal N} \ left (\ sqrt {2k-1}, 1 \ right)$ .

Wilson e Hilferty mostrou em 1931 que $\ Sqrt [3] {X / k}$ é aproximadamente normalmente distribuído com média $1-2 / (9k)$ e variância $2 / (9k)$ .

O valor esperado de uma variável aleatória de distribuição qui-quadrado com $k$ graus de liberdade é $k$ ea variância é $2k$ . A mediana é dada aproximadamente por

$k- \ frac {2} {3} + \ frac {4} {} 27k - \ frac {8} {2} ^ 729k.$

Note-se que dois graus de liberdade de chumbo para uma distribuição exponencial .

Informações entropia

O entropia da informação é dada pela

$H = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty f (x; k) \ ln (f (x; k)) dx = \ frac {k} {2} + \ ln \ left (2 \ Gamma \ left ( \ frac {k} {2} \ right) \ right) + \ left (1 - \ frac {k} {2} \ right) \ psi (k / 2).$

onde $\ Psi (x)$ é o Digamma função.

Distribuições relacionados

$X \ sim \ mathrm {} Exponencial (\ lambda = \ frac {1} {2})$ é uma distribuição exponencial se $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Com dois graus de liberdade).
$Y \ sim \ chi_k ^ 2$ é uma distribuição qui-quadrado se $Y = \ sum_ {m = 1} ^ k ^ 2 x_m$ para $X_i \ sim N (0,1)$ independente, que são normalmente distribuídos .
Se o $X_i \ sim N (\ mu_i, 1)$ têm meios diferentes de zero, em seguida, $Y = \ sum_ {m = 1} ^ k ^ 2 x_m$ é desenhado a partir de um distribuição qui-quadrado não central.
A distribuição qui-quadrado $X \ sim \ chi ^ 2_ \ nu$ é um caso especial do distribuição gama, em que $X \ sim \ textrm {Gamma} (\ tfrac {\ nu} {2}, 2)$ .
$Y \ sim \ mathrm {F} (\ nu_1, \ nu_2)$ é um F-distribuição se $Y = \ frac {X_1 / \ nu_1} {X_2 / \ nu_2}$ onde $X_1 \ sim \ chi _ {\ nu_1} ^ 2$ e $X_2 \ sim \ chi _ {\ nu_2} ^ 2$ são independentes com os respectivos graus de liberdade.
$Y \ sim \ chi ^ 2 (\ bar {\ nu})$ é uma distribuição qui-quadrado se $Y = \ sum_ {m = 1} ^ N x_m$ onde $X_m \ sim \ chi ^ 2 (\ nu_m)$ são independentes e $\ Bar {\ nu} = \ sum_ {m = 1} ^ N \ nu_m$ .
se $X$ é distribuído qui-quadrado, em seguida, $\ Sqrt {X}$ é chi distribuído.
em particular, se $X \ sim \ chi_2 ^ 2$ (Qui-quadrado com 2 graus de liberdade), em seguida, $\ Sqrt {X}$ é Rayleigh distribuído.
se $X_1, \ pontos, X_n$ são iid $N (\ mu, \ sigma ^ 2)$ variáveis aleatórias , em seguida, $\ Sum_ {i = 1} ^ n (x_i - \ bar X) ^ 2 \ sim \ sigma ^ 2 \ chi ^ 2_ {n-1}$ onde $\ Bar X = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n x_i$ .
se $X \ sim \ mathrm {SkewLogistic} (\ frac {1} {2}) \,$ , Então $\ Mathrm {} log (1 + e ^ {- X}) \ sim \ chi_2 ^ 2 \,$

**Vários chi e distribuições qui-quadrado**
Nome	Estatística
distribuição qui-quadrado	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ frac {\ left (X_i- \ mu_i \ right) ^ 2} {\ sigma_i ^ 2}$
qui-quadrado não central de distribuição	$\ Sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {x_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2$
distribuição chi	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {X_i- \ mu_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$
distribuição chi não central	$\ Sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ k \ left (\ frac {x_i} {\ sigma_i} \ right) ^ 2}$

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