Operador (matemática)

Em matemática , um operador é uma função , que opera em (ou modifica) uma outra função. Muitas vezes, um "operador" é uma função que age em funções para produzir outras funções (no sentido em que Oliver Heaviside usou o termo); ou pode ser uma generalização de uma tal função, como em álgebra linear , em que alguma da terminologia reflecte a origem do sujeito em operações sobre as funções que são soluções de equações diferenciais . Um operador pode executar uma função em qualquer número de operandos (insumos), embora na maioria das vezes há apenas um operando.

Um operador também pode ser chamado de uma operação, mas o ponto de vista é diferente. Por exemplo, pode-se dizer que "a operação de adição" (mas não o "operador de adição") ao focalizar os operandos e resultado. Um diz "operador de adição" ao focalizar o processo de adição, ou a partir do ponto de vista mais abstrato, a função +: S × S → S.

Notação

Um nome de operador ou símbolo do operador é uma notação que indica um determinado operador. Quando não há nenhum risco de confusão, um nome de operador ou símbolo do operador podem ser referidos mais brevemente como um "operador". Estritamente falando, no entanto, o operador é um objecto matemático e não a entidade sintática que indica a ele. A razão para identificá-lo com a sua notação é que existem alguns operadores que têm vindo a ter notações padrão.

Exemplos simples de operadores

Em álgebra linear um "operador" é um operador linear. Na análise de um "operador" pode ser uma operador diferencial, para realizar a diferenciação normal, ou uma operador integral, para realizar a integração comum.

Um exemplo é um operador diferencial, é a próprio derivado. O nome do operador correspondente D, quando colocado antes de uma função diferenciável f, indica que a função é ser diferenciada em relação à variável.

Operadores em detrimento funções

A palavra operador pode, em princípio, ser aplicada a qualquer função. No entanto, na prática, é mais frequentemente aplicada às funções que operam em matemática entidades de maior complexidade do que os números reais , tais como vetores , variáveis aleatórias , ou expressões matemáticas. O e diferencial operadores integrais, por exemplo, têm domínios e codomains cujas elementos são expressões matemáticas de complexidade indefinida. Em contraste, as funções com domínios com valor de vetor, mas varia escalares são chamados funcionais e formulários.

Em geral, se quer o domínio ou codomain (ou ambos) dos elementos contém uma função muito mais complexa que os números reais, esta função é referido como um operador. Por outro lado, se nem o domínio nem o codomain de uma função de conter os elementos mais complicados do que os números reais, esta função é susceptível de ser referido simplesmente como uma função. funções trigonométricas , tais como co-seno são exemplos deste último caso.

Além disso, quando as funções são usadas com tanta frequência que eles evoluíram notações rápido ou mais fácil do que a forma genérica F (x, y, z, ...), as formas especiais resultantes são também chamados operadores. Exemplos incluem operadores infixos, como adição "+" e da divisão "/", e operadores postfix tais como fatorial "!". Esse uso não está relacionada com a complexidade das entidades envolvidas.

Influências de outras disciplinas

Conceitos de outras disciplinas, incluindo em física e, em menor grau de ciência da computação , têm influenciado as maneiras em que os operadores são percebidos e usados.

Física

A influência mútua entre a física ea matemática a respeito do conceito de operadores tem sido a longo prazo, começando no início de 1900, e profunda em ambos os sentidos. A mecânica quântica , em particular, foi forçado a mover-se de estratégias de medição clássicos envolvendo valores numéricos única simples para o uso dos operadores que transformaram e manipuladas entidades muito menos intuitivos. Estes incluíram vetores tanto no espaço real e em generalizações de espaço real chamados Espaços de Hilbert, espinores, e várias formas de matrizes . O grande físico PAM Dirac capturou a importância da relação entre a física quântica e da matemática, dizendo: "As leis físicas devem ter beleza matemática e simplicidade."

Exemplos de operadores matemáticos

Esta seção concentra-se em ilustrando o poder expressivo do conceito de operador em matemática. Por favor, consulte as páginas de tópicos individuais para obter mais detalhes.

Operadores lineares

O tipo mais comum de operador encontradas são operadores lineares. Ao falar sobre operadores lineares, o operador é significado geralmente pelas letras T ou l. Operadores lineares são aqueles que satisfazem as seguintes condições; levar o operador T geral, a função sob agido sobre o operador T, escrito como f (x), e a uma constante:

Muitos operadores são lineares. Por exemplo, o operador diferencial e operador de Laplace, que veremos mais adiante.

Operadores lineares são também conhecidos como linear ou mapeamentos transformações lineares. Muitos outros operadores um encontros em matemática são lineares, e operadores lineares são os mais facilmente estudados (Compare com não-linearidade).

Tal um exemplo de uma transformação linear entre os vectores em ^R2 é reflexão: dado um vetor x = (x _1, x ₂₎

Q (x _1, x ₂₎ = (- x _1, x ₂₎

Nós também podemos fazer o sentido de operadores lineares entre generalizações de finito espaços vetoriais dimensional. Por exemplo, há um grande corpo de trabalho lidar com operadores lineares sobre Espaços de Hilbert e em Espaços de Banach. Veja também álgebra operador.

Operadores em teoria da probabilidade

Os operadores também estão envolvidos na teoria da probabilidade. Esses operadores como expectativa, variância , covariância, fatoriais , etc.

Operadores no cálculo

Cálculo é, essencialmente, o estudo de dois operadores em particular: o operador diferencial D = d / d t, e o operador integral indefinida . Estes operadores são lineares, como são muitos dos operadores construídos a partir deles. Nas partes mais avançadas de matemática, esses operadores são estudados como parte do análise funcional.

O operador diferencial

O operador diferencial é um operador que é fundamentalmente utilizado no cálculo para denotar a acção de um derivado de tomar. Notações comuns são dy / dx, e y '(x) para denotar o derivado de y (x). Aqui, no entanto, nós usaremos a notação que está mais próximo da notação operador temos vindo a utilizar; isto é, utilizando Df para representar a acção de tomar o derivado de f.

Operadores integrais

Dado que a integração é um operador, bem como (inverso da diferenciação), temos alguns operadores importantes que podemos escrever em termos de integração.

Convolução

A convolução é um mapeamento a partir de duas funções f (t) e g (t) para uma outra função, definida por um integrante da seguinte forma:

Transformada de Fourier

A transformada de Fourier é utilizado em muitas áreas, não só em matemática, mas na física e no processamento de sinais, para citar alguns. É um outro operador integral; é útil principalmente porque converte uma função em um (espacial) de domínio de uma função em outro (frequência) de domínio, de uma forma que é eficaz invertível. Nada significativa é perdida, porque há uma transformação inversa operador. No caso simples de funções periódicas, este resultado está baseado no teorema que qualquer função periódica contínua pode ser representada pela soma de uma série de ondas de seno e co-seno ondas:

Ao lidar com a função geral R → C, a transformação assume um integrante forma:

Laplacian transformar

A transformada de Laplace é outro operador integral e está envolvido na simplificação do processo de resolução de equações diferenciais.

Dado f = f (s), que é definida por:

Operadores fundamentais sobre campos escalares e vetoriais

Três operadores principais são a chave para cálculo vetorial , o operador ∇, conhecido como gradiente, em que a um certo ponto na forma de um campo escalar um vector que aponta na direcção de maior alteração desse campo escalar. Em um campo vetorial, o divergência é um operador que mede a tendência de um campo vetorial para originar de ou convergir para um determinado ponto. Onda, num campo de vectores, é um operador vetorial que mostra a tendência de um campo de vectores para rodar em torno de um ponto.

Quanto ao tipo teoria

Em teoria dos tipos, um próprio operador é uma função, mas tem um tipo de anexo indicando o operando correto eo tipo de função retornado. As funções podem, portanto, ser considerados operadores, inversamente, para o qual nos esquecemos um pouco da bagagem tipo, deixando apenas rótulos para o domínio e contradomínio.

Operadores em física

Em física , um operador muitas vezes assume um significado mais especializado do que em matemática. Operadores como observáveis são uma parte fundamental da teoria da mecânica quântica . Nesse contexto operador muitas vezes significa um a partir de uma transformação linear Espaço de Hilbert para outro, ou (mais abstratamente) um elemento de uma C * -álgebra.

Operadores em linguagens de programação de computador

Em geral, o termo "operador" no computador linguagens de programação tem o mesmo significado que em matemática. Isto é particularmente verdadeiro em linguagens de programação funcional, em que um operador é também uma função.

Operadores como primitivos

No entanto, a maioria das linguagens de programação distinguir entre os operadores e as funções em que os operadores são uma parte primitiva especial da linguagem, tanto sintaticamente e em termos de funcionalidade. Por exemplo, a maioria dos idiomas fornecer um ' + 'Operador (adição), que adiciona dois números, sem fazer uma chamada de função.

Em muitos idiomas, este comportamento é totalmente diferente do de uma chamada de função. Por exemplo, em C (e muitos derivados tais como Java ), as operações aritméticas pode actuar em qualquer numérico tipo de dados, enquanto as funções só estão autorizados a agir em um único tipo explícito.

Outras línguas (principalmente os mais antigos) não têm funções que retornam valores em tudo. No entanto, muitas vezes eles ainda têm os operadores que fazem retornar valores, ampliando a distinção entre operadores e funções.

Operadores não-matemáticos

As linguagens de programação, muitas vezes apresentam os operadores não-matemáticos. Estes podem incluir os operadores que fazem referência ou dereference ponteiros, cujo acesso elementos da matriz, ou obter o o tamanho de um tipo de dados. Eles também podem incluir compostos tais como operadores " += ", que incrementa uma variável por um determinado valor.

Operadores em linguagem assembly

Em programação em linguagem assembly, o termo "operador" pode referir-se a opcode de uma determinada instrução. Isto é muito semelhante ao conceito primitivo de um operador numa linguagem de nível superior.