Arc sinus

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Graphe de la fonction arcsin

La fonction Arc sinus est l'application réciproque de la restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]. C'est à dire qu'en appliquant la fonction sinus puis la fonction Arcsinus à un nombre de [-π/2, π/2], on revient à ce nombre. On la note arcsin, sin^-1 ou parfois asin.

Remarque :

• La fonction sinus n'est pas bijective car elle prend plusieurs fois les mêmes valeurs (elle est périodique). Par exemple, elle prend la valeur 0 pour tous les multiples de π (0, π, 2π, 3π, ... et -π, -2π, ...). On ne peut donc pas considérer sin^-1.
• Par contre, l'application f de [-π/2, π/2] vers [-1,1] qui, à un réel, fait correspondre son sinus (appelée restriction de la fonction sinus à [-π/2, π/2]), est bijective. Chaque valeur prise par la fonction sinus entre -π/2 et π/2 est unique.

On peut donc considérer l'inverse de cette fonction, qui est Arcsinus.

Propriétés

${\displaystyle \forall x}$ se lit pour tout x et ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ se lit si et seulement si (c'est une relation d'équivalence)

• ${\displaystyle \forall x\in \left[-1,1\right],\sin(\arcsin(x))=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],\arcsin(\sin(x))=x}$
• ${\displaystyle \forall x\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],y\in \left[-1,1\right],y=\sin(x)\Leftrightarrow x=\arcsin(y)}$

• ${\displaystyle \forall x\in [-1,1],\arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}$

• Le graphe de la fonction Arcsinus est une symétrie axiale du graphe de la fonction sinus d'axe la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$ .

Valeurs remarquables

Tableau de valeurs de la fonction arcsin

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \arcsin(x)}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$
${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$

Dérivée et variations

La dérivée de la fonction arcsin est ${\displaystyle \arcsin '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ . Cette dérivée est de signe positif, car la fonction arcsin est croissante.

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