Matemáticas/Teoría de conjuntos/Intuitiva/Cardinalidad

Definición

La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que posee ese conjunto.

El símbolo que representa la cardinalidad de un conjunto $A$ es $n(A)$ .

Ejemplo

El conjunto $A=\{a,e,i,o;u\}$ tiene cinco elementos. Por tanto, se tiene que $n(A)=5$ .

Propiedades de la Cardinalidad

Para dos conjuntos $A$ y $B$

$n(\phi )=0$
$A=B\Rightarrow n(A)=n(B)$
$A\subseteq B\Rightarrow n(A)\leq n(B)$
$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$
$n(U)=n(A)+n(A^{c})$
$n(A-B)=n(A)-n(A\cap B)$

Para tres conjuntos $A,B$ y $C$

$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$
$n(A-(B\cup C))=n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)$
$n((A\cap B)-C)=n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)$
$n((A\cup B)-C)=n(A\cup B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)$

Nota: En este curso, que tiene un enfoque más aplicado, no se usarán siempre las propiedades para resolver ejercicios. Para ello se hará uso, de preferencia, de los Diagramas de Venn.

Ejemplos de aplicación de Cardinalidad de Conjuntos

Ejemplo 1

Se encuestó a 100 personas sobre sus preferencias en relación a dos programas (no excluyentes) municipales contra la delincuencia. Los programas recibieron los nombres $A$ y $B$ .

Los resultados fueron los siguientes:

65 no prefieren el programa $A$
45 no prefieren el programa $B$
50 prefieren los programas $A$ o $B$ , pero no ambos

Se pide determinar el número de encuestados que prefieren ambos programas.

Sol: Usamos el siguiente Diagrama de Venn

Según los datos, podemos armar las siguientes ecuaciones

$\left\{{\begin{matrix}a+b+c+d=100\\c+d=65\\a+d=45\\a+c=50\end{matrix}}\right.$

Al resolver el sistema, los valores son los siguientes:

a=15,b=20,c=35,d=30

Luego, el número de encuestados que prefieren ambos programas es 20

Ejemplo 2

En una encuesta sobre los medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi, el autobús o el aut particular es el medio más usado para ir al trabajo. Se permite más de una respuesta. El resultado de la encuesta es el siguiente

a) 30 personas usan taxi

b) 35 personas usan autobús

c) 100 personas usan el auto particular

d) 15 personas usan taxi y autobús

e) 15 personas usan taxi y auto particular

f) 20 personas usan autobús y auto particular

g) 5 personas usan los tres medios de transporte

Se quiere saber el número de personas que respondieron la encuesta, considerando que todos los encuestados respondieron a favor de una o más de las opciones.

Sol:

Ejercicios Propuestos de Cardinalidad de Conjuntos

Desarrollar los siguientes ejercicios propuestos de cardinalidad de conjuntos.

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