Definición

Dada una función matemática ${\displaystyle f(x)}$ en el "dominio del tiempo", se denomina transformada de Fourier de ${\displaystyle f}$ a la función ${\displaystyle {\hat {f}}}$ definida por

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }dx,}$

la cual está definida para una función integrable ${\displaystyle f}$ tal que

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|dx<\infty .}$

Ésta se utiliza para pasar al "dominio de la frecuencia" para obtener información que no es evidente en el dominio del tiempo.

La transformada ${\displaystyle {\hat {f}}}$ es una función continua y acotada. Si ${\displaystyle {\hat {f}}}$ también satisface ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\hat {f}}(\xi )|d\xi <\infty ,}$ la transformada inversa de Fourier está dada por:

${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi i\xi x}d\xi }$.

Debido a las propiedades

${\displaystyle {\widehat {\frac {df}{dx}}}(\xi )=2\pi i\xi {\hat {f}}(\xi )\quad {\mbox{ y }}\quad {\widehat {xf}}(\xi )=-{\frac {1}{2\pi i}}{\frac {d}{d\xi }}{\hat {f}}(\xi ),}$