Subespacios vectoriales

Sea ${\displaystyle V}$ un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial ${\displaystyle W}$ de ${\displaystyle V}$ es un subconjunto de ${\displaystyle V}$ tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en ${\displaystyle V}$, es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.

Teorema (de caracterización) Sea ${\displaystyle V}$ un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

1. ${\displaystyle \forall a\in F\quad \forall x\in W,\quad {a}\circ {x}\in W}$
2. ${\displaystyle \forall x,y\in W,\quad x{\bar {+}}y\in W}$

Demostración

${\displaystyle \rightarrow )}$ Es evidente, porque las operaciones ${\displaystyle {\bar {+}}}$ y ${\displaystyle \circ }$ son operaciones en ${\displaystyle W}$.

${\displaystyle \leftarrow )}$ Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en ${\displaystyle W}$ porque se cumplen en ${\displaystyle V}$.

Corolario Un subconjunto ${\displaystyle W}$ no vacío de ${\displaystyle V}$ es subespacio vectorial si y solo si, para cada ${\displaystyle a,b\in F}$ y para cada ${\displaystyle x,y\in W}$ se cumple

${\displaystyle a\circ x{\bar {+}}b\circ y\in W}$.