Para el cálculo de la inversa de una matriz expondremos dos métodos, usando el proceso de Gauss-Jordan y utilizando el concepto de determinante. Antes de explicar su desarrollo definiremos que es una matriz inversa en el siguiente enunciado:

Si ${\displaystyle A}$ es una matriz cuadrada de ${\displaystyle nxn}$, ${\displaystyle BA=I}$ e ${\displaystyle I}$ es la matriz identidad de ${\displaystyle nxn}$, entonces ${\displaystyle B}$ se llama la inversa de ${\displaystyle A}$ por la izquierda.

Del anterior enunciado podemos deducir el siguiente teorema:

La matriz ${\displaystyle A}$ es no singular si y sólo si ${\displaystyle T}$ es invertible. Si ${\displaystyle BA=I}$, entonces ${\displaystyle B=m(T^{-1})}$.

Para encontrar la inversa de una matriz por el método de Gauss-Jordan debemos tener una matriz ampliada de la siguiente forma:

Sea la matriz ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}}$

y la matriz ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

La matriz ampliada queda de la forma ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&|&1&0&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&|&0&1&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&|&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

Aplicando Gauss-Jordan llegamos a la siguiente matriz ampliada ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&|&b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&1&0&|&b_{21}&b_{22}&b_{23}\\0&0&1&|&b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}$

Donde la matriz ${\displaystyle B}$, inversa de ${\displaystyle A}$ es ${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}$

El siguiente método es el más usado para el cálculo de matrices inversas, se describe bajo la ecuación ${\displaystyle {A^{-1}}={1 \over {\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}}\ (adj(A))^{T}\ }$