La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}$

siendo ${\displaystyle z}$ la variable compleja definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

${\displaystyle \sin \alpha ={\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{2i}},\qquad \cos \alpha ={\frac {e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}{2}}}$

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

${\displaystyle \tan \alpha ={\dfrac {1}{i}}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}=\ {-i}{\dfrac {e^{i\alpha }-e^{-i\alpha }}{e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }}}}$

Siendo ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$.