Anormal-komplexe Zahl

Die anormal-komplexen Zahlen (englisch split-complex numbers oder hyperbolic numbers; zur Begründung siehe weiter unten) bilden eine zweidimensionale hyperkomplexe Algebra über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen. Wie die Algebra der komplexen Zahlen wird diese Algebra von zwei Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit ${\displaystyle i}$ der komplexen Zahlen hier mit ${\displaystyle j}$ bezeichnet wird. Jede anormal-komplexe Zahl lässt sich demnach eindeutig als

${\displaystyle z=a+b\cdot j}$

mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ darstellen, also als Linearkombination aus 1 und ${\displaystyle j}$. Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für anormal-komplexe Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch

${\displaystyle j^{2}=1,}$ also ${\displaystyle (1+j)(1-j)=0,}$

wobei natürlich ${\textstyle j\neq \pm 1}$ zu beachten ist. Außerdem ist analog zu den komplexen Zahlen die zu ${\displaystyle z=a+b\cdot j}$ mit ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ konjugierte Zahl

${\displaystyle {\bar {z}}:=a-b\cdot j}$

definiert.

Wie alle hyperkomplexen Algebren erfüllen auch die anormal-komplexen Zahlen das rechts- und linksseitige Distributivgesetz. Wie die komplexen Zahlen sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich ${\displaystyle j:}$

${\displaystyle 1\cdot j=j\cdot 1=j}$

${\displaystyle 1\cdot (1\cdot j)=1\cdot j=(1\cdot 1)\cdot j=j}$

${\displaystyle 1\cdot (j\cdot j)=1\cdot 1=1=j\cdot j=(1\cdot j)\cdot j}$

Die anormal-komplexen Zahlen bilden also einen kommutativen Ring mit Einselement, der aber – im Unterschied zu ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – kein Körper ist, sondern ein Ring mit zwei nichttrivialen Idealen, den reellzahligen Vielfachen von ${\displaystyle 1+j}$ und denen von ${\displaystyle 1-j}$, anschaulich also den durch den Ursprung verlaufenden Diagonalen der Zahlenebene. Hauptideale sind sie, da sie jeweils von einem einzigen Element erzeugt werden. Sie sind beide Nullteiler, denn 0 ergibt sich als Produkt eines beliebigen Elementes des einen Ideals mit einem beliebigen Element des anderen:

${\displaystyle a(1+j)\cdot b(1-j)=ab(1^{2}-j^{2})=ab(1-1)=ab\cdot 0}$

Eine Norm oder ein Betrag ist für anormal-komplexe Zahlen nicht definiert

Quatsch, natürlich ist durch N(a+bj)=a^2-b^2 eine Norm definiert. Diese macht die anormal-komplexe Zahl zu einem quadratischen Raum der Signatur (1,1), also der hyperbolischen Ebene.

, aber dennoch gibt es zwei Eigenschaften, die sich so bei der Multiplikation „weitervererben“ wie die Norm bei komplexen Zahlen oder die Determinante bei Matrizen (im Sinne von „Norm/Determinante des Produktes gleich Produkt der Normen/Determinanten der Faktoren“):

1. Die Summe aus Real- und Nichtrealteil (weil sich ${\displaystyle j}$ bei Multiplikation wie 1 verhält)
2. Das Produkt einer Zahl ${\displaystyle z}$ (wie oben) mit ihrer Konjugierten:

${\displaystyle z{\bar {z}}=(a+b\cdot j)(a-b\cdot j)=a^{2}-b^{2}\cdot j^{2}=a^{2}-b^{2},}$

was stets eine reelle Zahl ergibt. Diese ist

1. negativ für ${\displaystyle |a|<|b|}$
2. gleich Null für ${\displaystyle |a|=|b|}$
3. positiv für ${\displaystyle |a|>|b|.}$

Wie alle komplexen Zahlen desselben Betrages auf einem Kreis liegen, liegen alle anormal-komplexen Zahlen, deren Produkt mit ihrem Konjugierten einen festen Wert hat, auf einer Hyperbel; deshalb werden sie im Englischen auch „hyperbolic numbers“ genannt. Mithin folgen die anormal-komplexen Zahlen einer Minkowski-Metrik wie Zeit (= Realachse) und Raumrichtung (= Nichtrealachse) in der speziellen Relativitätstheorie. Bei der Beschreibung der klassischen reellen Minkowski-Ebene spielen die anormal-komplexen Zahlen eine analoge Rolle wie die komplexen Zahlen bei der Beschreibung der klassischen reellen Möbiusebene.[1]

Stellt man die Elemente als Linearkombination von

$${\displaystyle u:={\frac {1+j}{2}}\quad {\text{und}}\quad {\bar {u}}={\frac {1-j}{2}}}$$

dar, entkoppeln sich die Komponenten im Produkt, denn

$${\displaystyle u^{2}=u,\quad u{\bar {u}}={\bar {u}}u=0,\quad {\bar {u}}^{2}={\bar {u}}}$$

und damit

$${\displaystyle (au+b{\bar {u}})(cu+d{\bar {u}})=acu+bd{\bar {u}}}$$

Somit sind die anormal-komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} [j]=\mathbb {R} [u]}$ isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {R\oplus R} }$ mit dem komponentenweisen Produkt.

• Duale Zahl

• I. L. Kantor, A. S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. B.G. Teubner, Leipzig 1978.
• Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung. Springer, 1973, ISBN 9783642886706, S. 43–47.

1. Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren. Springer, 1973, ISBN 9783642886706, S. 45.