Differente

Es sei ${\displaystyle K}$ ein Zahlkörper und ${\displaystyle S:K\to \mathbb {Q} }$ die Spur. Dann ist ${\displaystyle M^{\star }=\{\omega \in K;\,S(\omega M)\subset \mathbb {Z} \}}$ das duale Gitter von ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle K}$ bezüglich der nicht ausgearteten ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-Bilinearform ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =S(\alpha \beta )}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$. Weiterhin bezeichnet ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{-1}}$ das Inverse eines Ideals ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Die Differente eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$ ist definiert als ${\displaystyle {\mathfrak {D}}_{K}=({\mathcal {O}}^{\star })^{-1}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ der Ganzheitsring (die Hauptordnung ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$) des Zahlkörpers ist.

Die Absolutnorm der Differente eines algebraischen Zahlkörpers ist gleich dem Betrag der Diskriminante

${\displaystyle {\mathfrak {N}}({\mathfrak {D}}_{K})=|d_{K}|}$.

• Armin Leutbecher: Zahlentheorie, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58791-0.