Elliptisches Integral

Ein elliptisches Integral ist ein Integral vom Typ

\int R\left(x,{\sqrt {P(x)}}\right)\mathrm {d} x,

wobei $R$ eine rationale Funktion in zwei Variablen und $P(x)$ ein Polynom dritten oder vierten Grades ohne mehrfache Nullstelle ist. Das Integral heißt elliptisch, weil Integrale dieser Form bei der Berechnung des Umfangs von Ellipsen und der Oberfläche von Ellipsoiden auftreten. Auch in der Physik gibt es weitreichende Anwendungen.

Elliptische Integrale lassen sich im Allgemeinen nicht durch elementare Funktionen darstellen, sie können aber durch Umformungen in eine Summe von elementaren Funktionen und Integralen der unten beschriebenen Form überführt werden. Diese Integrale heißen elliptische Integrale erster, zweiter und dritter Art.

I. Art:

\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}

II. Art:

\int {\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x

III. Art:

\int {\frac {\mathrm {d} x}{(1-nx^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}

Dabei ist $0<k<1.$ Zum Teil wird in der Literatur auch der Parameter $m=k^{2}$ statt $k$ in den Funktionsaufruf eingesetzt und der Definitionsbereich auf $m<0$ erweitert.

Vollständige elliptische Integrale

Graph der vollständigen elliptischen Integrale

K(m)

und

E(m)

Definition der vollständigen elliptischen Integrale

Die Integrale mit unterer Integralgrenze 0 nennt man unvollständige elliptische Integrale. Ist zusätzlich die obere Integralgrenze $\pi /2$ , spricht man im Falle der I. und II. Art von vollständigen elliptischen Integralen. Die vollständigen elliptischen Integrale I. und II. Art stehen im direkten Bezug zur Gauß’schen hypergeometrischen Funktion ${}_{2}F_{1}(a,b;c;z)$ , das vollständige elliptische Integral III. Art zur Appell'schen hypergeometrischen Funktion $F_{1}(a;b_{1},b_{2};c;x,y).$

{\begin{aligned}K(k)&:=F({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\E(k)&:=E({\tfrac {\pi }{2}},k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot {}_{2}F_{1}(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2})\\\Pi (n,k)&:=\Pi ({\tfrac {\pi }{2}},n,k)={\tfrac {\pi }{2}}\cdot F_{1}({\tfrac {1}{2}};1,{\tfrac {1}{2}};1;n,k^{2})\end{aligned}}

In der nachfolgenden Tabelle sind die vollständigen elliptischen Integrale in der Integraldarstellung mit den Parametern $k$ und $m$ dargestellt. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution $t=\sin \vartheta$ in die Legendre-Normalform[1] überführen. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter $m=k^{2}$ in Verwendung.

Definition der vollständigen elliptischen Integrale mit Parametern $k$ und $m$
	Konvention mit Parameter $k$	Konvention mit Parameter $m$
I. Art: Jacobi-Form	$K(k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$	$K(m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	$K(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}$	$K(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}$
II. Art: Jacobi-Form	$E(k):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$	$E(m):=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$
II. Art: Legendre-Normalform	$E(k):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta$	$E(m):=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\;{\text{d}}\vartheta$
III. Art: Jacobi-Form	$\Pi (n,k):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	$\Pi (n,m):=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	$\Pi (n,k):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	$\Pi (n,m):=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\text{d}}\vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$

Definition der komplementären elliptischen Integrale

Die komplementären vollständigen elliptischen Integrale $K'$ und $E'$ sind mit der komplementären Variable $k'$ wie im Folgenden dargestellt definiert.

{\begin{aligned}k'&:={\sqrt {1-k^{2}}}\\K'(k)&:=K(k')\\E'(k)&:=E(k')\end{aligned}}

Darstellung per Potenzreihe

Die vollständigen elliptischen Integrale lassen sich als Potenzreihe darstellen.[2] Die angegebenen Potenzreihen können zur numerischen Auswertung verwendet werden. Es ist jedoch darauf zu achten, dass die Konvergenz vom Argument $k$ abhängig ist. Die Verwendung von Potenzreihen ist bezüglich der Rechenzeit nicht die effizienteste Methode zur numerischen Auswertung. Ist in einer physikalischen Anwendung klar, dass das Argument $k$ in einem bezüglich der Genauigkeit geeignetem Bereich liegt, so bietet die Potenzreihen-Darstellung im Sinne der Linearisierung eine nützliche Methode zur Angabe von Näherungslösungen oder Faustformeln.

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}k^{2n}{\biggr \}}

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}{\biggl \{}1-\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!}{2^{2n-1}n!(n-1)!}}{\biggr ]}^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}{\biggr \}}

Beweis für die Potenzreihen:

Es gelten diese beiden binomischen Maclaurin-Reihen für |kx| < 1:

{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}

{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}

Zusätzlich ist jenes Integral für alle Zahlen n ∈ ℕ₀ gültig:

\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}

Deswegen gilt für das vollständige elliptische Integral erster Art:

K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=

=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=

=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}

Und für das vollständige elliptische Integral zweiter Art gilt:

E(k)=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}k^{2n}x^{2n}{\biggr ]}\mathrm {d} x=

=\int _{0}^{1}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {1}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\frac {k^{2n}x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=

=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2n}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {k^{2n}}{4^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}{\biggl [}{\frac {1}{4^{n}}}{\binom {2n}{n}}{\frac {\pi }{2}}{\biggr ]}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}

Darstellung per unendlichem Produkt

In der folgenden Tabelle sind Produktdarstellungen des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art und des komplementären elliptischen Integrals 1. Art angegeben. Oftmals wird auch die komplementäre Variable $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ zur kompakteren Darstellung verwendet. Auffällig ist die Vertauschung von $k_{n}$ und $k_{n}'={\sqrt {1-k_{n}^{2}}}$ bezüglich der beiden Produktformeln beim Vergleich zum Komplementär.

Produktdarstellung des vollständigen elliptischen Integrals I. Art
	Vollständiges elliptisches Integral I. Art	Komplementäres elliptisches Integral I. Art
Anfangswert	$k_{0}:=k$	$k_{0}:=k$
Rekursionsgleichung	$k_{n+1}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$	$k_{n+1}={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}$
Produktformeln	$K(k)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})$	$K'(k_{0})={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}})$

Darstellung per AGM-Algorithmus

Neben den Potenzreihen existiert eine Darstellung als Grenzwert des iterierten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM-Algorithmus). Im Folgenden stellt $a$ den arithmetischen Mittelwert, $b$ den geometrischen Mittelwert und $c$ eine Hilfsvariable dar. Die Anfangswerte $a_{0},b_{0},c_{0}$ sind wie angegeben durch das Argument $k$ definiert. Zu beachten ist, dass für $k=1$ das vollständige elliptische Integral I. Art ins Unendliche läuft. Deshalb kann $E(1)$ nicht berechnet werden. Dies stellt jedoch kein Problem dar, da dieser Wert exakt zu $E(1)=1$ bekannt ist. Bei einer Implementierung bedarf es also einer Fallunterscheidung. Die Parameter-Konvention $E(m),\;K(m)$ lässt sich ebenfalls mit dem AGM-Algorithmus berechnen. Es bedarf ausschließlich der Substitution $m=k^{2}$ . In der Praxis zeigt sich, dass bei Verwendung von double-precision ( $\approx 16$ dezimalen Nachkommastellen) eine Wahl von $n=4$ Rekursionsschritten die besten Ergebnisse liefert. Bei $n>4$ sinkt die Genauigkeit aufgrund von Rundungsfehlern. Diese geringe Anzahl an Rekursionsschritten zeigt die Effizienz des AGM-Algorithmus.

AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
$a_{0}:=1$	$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}$	$K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}}\equiv {\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}$
$b_{0}:={\sqrt {1-k^{2}}}$	$b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}$	$E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }2^{n-1}c_{n}^{2}\right)\cdot K(k)$
$c_{0}:=k$	$c_{n+1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}$	$\Pi (n,k)={\frac {1}{2}}\cdot \left(2+{\frac {n}{1-n}}\sum _{n=0}^{\infty }Q_{n}\right)\cdot K(k)$
$p_{0}:={\sqrt {1-n}}$	$p_{n+1}={\frac {p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}{2p_{n}}}$
$Q_{0}:=1$	$Q_{n+1}={\frac {Q_{n}}{2}}\cdot {\frac {p_{n}^{2}-a_{n}b_{n}}{p_{n}^{2}+a_{n}b_{n}}}$

Durch Substitution gemäß $\alpha _{n}={\sqrt {a_{2n}}}\;,\;\beta _{n}={\sqrt {b_{2n}}}$ findet sich weiterhin der sogenannte Quartic-AGM-Algorithmus, dessen Iterationsvorschrift in der nachfolgenden Tabelle dargestellt ist. Die Bezeichnung „Quartic“ bezieht sich auf die Konvergenz des Algorithmus. Die Konvergenzordnung des Algorithmus in der oberen Tabelle ist quadratisch.

Quartic-AGM-Algorithmus zur Berechnung elliptischer Integrale
Anfangswerte	Rekursionsgleichungen	Elliptische Integrale
$\alpha _{0}:=1$	$\alpha _{n+1}={\frac {\alpha _{n}+\beta _{n}}{2}}$	$K(k)={\frac {\pi }{2\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\alpha _{n}^{2}}}$
$\beta _{0}:=\left(1-k^{2}\right)^{1/4}$	$\beta _{n+1}=\left({\frac {\alpha _{n}^{3}\beta _{n}+\beta _{n}^{3}\alpha _{n}}{2}}\right)^{1/4}$	$E(k)=\left(1-\sum _{n=0}^{\infty }4^{n}\left(\alpha _{n}^{4}-\left({\frac {\alpha _{n}^{2}+\beta _{n}^{2}}{2}}\right)^{2}\right)\right)\cdot K(k)$

Spezielle Eigenschaften und Identitäten

Hier sind $K'$ , $E'$ und $k'$ wieder die komplementären Größen.

Spezielle Funktions-Werte

{\begin{aligned}K(0)&={\frac {\pi }{2}}&\lim _{k\rightarrow 0}K'(k)&=\infty \\\lim _{k\rightarrow 1}K(k)&=\infty &K'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\E(0)&={\frac {\pi }{2}}&E'(0)&=1\\E(1)&=1&E'(1)&={\frac {\pi }{2}}\\K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}=K'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)&={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)=E'\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\\\Pi (0,0)&={\frac {\pi }{2}}\\\lim _{k\rightarrow 1}\Pi (0,k)&=\infty \end{aligned}}

Dabei bezeichnet $\varpi$ die Lemniskatische Konstante.

Spezielle Identitäten

Spezielle Funktionswerte:[3]

{\begin{aligned}F({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nK(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\E({\tfrac {n\pi }{2}},m)&\equiv nE(m)\;,&n\in \mathbb {N} \\\Pi \left(m,{\frac {n\pi }{2}},m\right)&\equiv {\frac {nE(m)}{m-1}}\;,&n\in \mathbb {N} \end{aligned}}

{\begin{aligned}\Pi (0,m)&\equiv K(m)\\\Pi (n,0)&\equiv {\frac {\pi /2}{\sqrt {1-n}}}\\\Pi (m,m)&\equiv {\frac {E(m)}{1-m}}\\\Pi (k,k)&\equiv {\frac {\pi }{4(1-k)}}+{\tfrac {1}{2}}K(k)\end{aligned}}

Transformation des Arguments:[4]

{\begin{aligned}K(m)&\equiv {\frac {1}{\sqrt {1-m}}}\;K\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\E(m)&\equiv {\sqrt {1-m}}\;E\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\\Pi (n,m)&\equiv {\frac {1}{(1-n){\sqrt {1-m}}}}\;\Pi \left({\frac {n}{n-1}},{\frac {m}{m-1}}\right)\end{aligned}}

{\begin{aligned}K(k)&\equiv {\frac {1}{1+k}}\;K\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)&K'(k)&\equiv {\frac {2}{1+k}}\;K'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\\K(k)&\equiv {\frac {2}{1+k'}}\;K\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\quad {\text{(Landen-Transformation)}}&K'(k)&\equiv {\frac {1}{1+k'}}\;K'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)\\E(k)&\equiv {\frac {1+k}{2}}\;E\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\frac {k'^{2}}{2}}\;K\left(k\right)&E'(k)&\equiv (1+k)\;E'\left({\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-k\;K'\left(k\right)\\E(k)&\equiv (1+k')\;E\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)-k'\;K(k)&E'(k)&\equiv {\frac {1+k'}{2}}\;E'\left({\frac {1-k'}{1+k'}}\right)+{\frac {k^{2}}{2}}\;K'(k)\end{aligned}}

K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}{2-\operatorname {sn} [K(k)/3;k]}}\;K{\bigl \{}k^{3}\operatorname {sn} [K(k)/3;k]^{4}{\bigr \}}

Hierbei löst der Jacobische Sinus-Amplitudinis-Ausdruck $\operatorname {sn} [K(k)/3;k]$ für x die Gleichung $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$ auf.

Insgesamt gilt für alle Werte n ∈ ℕ und 0 ≤ k ≤ 1 folgende Formel:

K(k)\equiv n{\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1}K{\biggl \{}k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \}}

Hierbei ist sn der Sinus Amplitudinis und dn das Delta amplitudinis.

Ableitungen

Die vollständigen elliptischen Integrale erster, zweiter und dritter Art werden so abgeleitet:

{\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}K(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-(1-k^{2})\cdot K(k)}{k\cdot (1-k^{2})}}&{\frac {{\text{d}}K(m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {E(m)-(1-m)\cdot K(m)}{2m\cdot (1-m)}}\\{\frac {{\text{d}}E(k)}{{\text{d}}k}}&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}&{\frac {{\text{d}}E(m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {E(m)-K(m)}{2m}}\\{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}n}}&={\frac {1}{2(m-n)(n-1)}}\left(E(m)+{\frac {m-n}{n}}K(m)+{\frac {n^{2}-m}{n}}\Pi (n,m)\right)&{\frac {{\text{d}}\Pi (n,m)}{{\text{d}}m}}&={\frac {1}{2(n-m)}}\left({\frac {E(m)}{m-1}}+\Pi (n,m)\right)\end{aligned}}

Beweis:

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals erster Art:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=

=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {k(1-2x^{2}+k^{2}x^{4})}{(1-k^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=

={\frac {1}{k(1-k^{2})}}E(k)-{\frac {1}{k}}K(k)-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {kx{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-k^{2}){\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}

Beweis für die Ableitung des elliptischen Integrals zweiter Art:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-kx^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=

=\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{k{\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{k{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x={\frac {E(k)-K(k)}{k}}

Stammfunktionen

Stammfunktionen für das vollständige elliptische Integral erster, zweiter und dritter Art nach $m$ :

{\begin{aligned}\int K(m)\,\mathrm {d} m&=2(m-1)K(m)+2E(m)\\\int E(m)\,\mathrm {d} m&={\tfrac {2}{3}}(m-1)K(m)+{\tfrac {2}{3}}(m+1)E(m)\\\int \Pi (n,m)\,\mathrm {d} m&=-2K(m)+2E(m)+2(m-n)\Pi (n,m)\end{aligned}}

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral erster Art nach $k$ :

\int _{0}^{x}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(xz)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z

Beispiel:

\int _{0}^{1}K(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\frac {\arcsin(z)}{z{\sqrt {1-z^{2}}}}}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}2\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)\,\mathrm {d} z=2\operatorname {Ti} _{2}(1)=2G

Ursprungsstammfunktion für das vollständige elliptische Integral zweiter Art:

\int _{0}^{x}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(xz)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}z^{2}}}}{2{\sqrt {1-z^{2}}}}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z

Beispiel:

\int _{0}^{1}E(k)\,\mathrm {d} k=\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\arcsin(z)}{2z{\sqrt {1-z^{2}}}}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} z=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\biggl [}\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {z}{1+{\sqrt {1-z^{2}}}}}\right)+{\frac {1}{2}}z{\biggr ]}\,\mathrm {d} z=\operatorname {Ti} _{2}(1)+{\frac {1}{2}}=G+{\frac {1}{2}}

Dabei ist G die Catalansche Konstante und mit Ti₂(x) wird das Arkustangensintegral zum Ausdruck gebracht.

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen oder algebraische Funktionen von Umkehrfunktionen der elliptischen Integrale heißen elliptische Funktionen. Sie sind mit den trigonometrischen Funktionen verwandt. Die Umkehrfunktionen von den unvollständigen elliptischen Integralen erster Art in Legendre-Form sind die Jacobischen Amplitudenfunktionen Sinus Amplitudinis (sn), Cosinus Amplitudinis (cn) und Delta Amplitudinis (dn).

Wenn man von diesen drei Funktionen die Kehrwertfunktionen mit Kürzeln ausdrücken möchte, dann müssen von den soeben gezeigten Funktionskürzeln die beiden Buchstaben jeweils ausgetauscht werden. Wenn eine der drei gezeigten Funktionen als Dividendfunktion durch eine andere von diesen drei Funktionen als Divisorfunktion geteilt wird, dann trägt das zweibuchstabige Kürzel der jeweiligen neuen Funktion an erster Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Dividendfunktion und an zweiter Stelle den Anfangsbuchstaben vom Kürzel der Divisorfunktion. Beispielsweise hat der Quotient des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Ampitudinis das Kürzel cd. Denn die Dividendfunktion ist der Cosinus Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel dieser Funktion ist das c. Und die Divisorfunktion ist das Delta Amplitudinis. Der Anfangsbuchstabe vom Kürzel jener Funktion ist das d.

Die Jacobischen Amplitudenfunktionen haben genauso wie die trigonometrischen Funktionen und Hyperbelfunktionen Additionstheoreme mit algebraischer Struktur, welche aus den Theoremen der unvollständigen elliptischen Integrale erster Art hervorgehen. Deswegen zählen die sn-Werte, cn-Werte und dn-Werte von den Produkten aus einer rationalen Zahl und dem elliptischen K-Integral des betroffenen Moduls komplett immer zu den algebraischen Zahlen.

Bei den Umkehrfunktionen der unvollständigen elliptischen Integrale zweiter Art ist das jedoch nicht der Fall. Diese inversen elliptischen Integrale zweiter Art haben keine Additionstheoreme mit algebraischer Struktur. Diese Funktionen ordnen die Bogenmaße beziehungsweise Kurvenlängen der Ellipsen den jeweiligen Höhen und Breiten der betroffenen Kurvenpunkte zu.

Unvollständige elliptische Integrale

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale

Graph der elliptischen Integrale erster Art

F(\varphi ,m)

in Legendre-Form für verschiedene Parameter

m

Graph der elliptischen Integrale zweiter Art

E(\varphi ,m)

in Legendre-Form für verschiedene Parameter

m

In der nachfolgenden Tabelle sind die Definitionen der unvollständigen elliptischen Integrale in Jacobi-Form und in Legendre-Normalform angegeben. Die Jacobi-Form lässt sich mit der Substitution $t=\sin \vartheta$ in die Legendre-Normalform überführen. Die unvollständigen elliptischen Integrale besitzen im Vergleich zu den vollständigen elliptischen Integralen einen zusätzlichen Freiheitsgrad, welcher der oberen Integrationsgrenze entspricht. Somit stellen die vollständigen elliptischen Integrale einen Spezialfall der Unvollständigen dar. In den Funktions-Bibliotheken von Matlab, Wolfram-Alpha, Mathematica, Python (SciPy) und GNU Octave ist der Parameter $m=k^{2}$ und die Legendre-Normalform in Verwendung.

Definition der unvollständigen elliptischen Integrale mit Parametern $k$ und $m$
	Konvention mit Parameter $k$	Konvention mit Parameter $m$
I. Art: Jacobi-Form	$F(x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}$	$F(x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}$
I. Art: Legendre-Normalform	$F(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}$	$F(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}$
II. Art: Jacobi-Form	$E(x,k):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$	$E(x,m):=\int _{0}^{x}{\sqrt {\frac {1-m\,t^{2}}{1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$
II. Art: Legendre-Normalform	$E(\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta$	$E(\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta$
III. Art: Jacobi-Form	$\Pi (n,x,k):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}}$	$\Pi (n,x,m):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{(1-n\,t^{2}){\sqrt {(1-t^{2})(1-m\,t^{2})}}}}$
III. Art: Legendre-Normalform	$\Pi (n,\varphi ,k):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}}$	$\Pi (n,\varphi ,m):=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \vartheta }{(1-n\sin ^{2}\vartheta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\vartheta }}}}$

Additionstheoreme

Mit folgenden Theoremen können die unvollständigen elliptischen Integrale additiv verknüpft werden. Die Legendre-Normalform wird zur Darstellung verwendet.

Elliptische Integrale erster Art:

F[\arctan(x),k]+F[\arctan(y),k]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]

Elliptische Integrale zweiter Art:

E[\arctan(x),k]+E[\arctan(y),k]=E\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]+

+{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)

Mit folgendem Theorem können arithmetische Mittlungen durchgeführt werden:

F[\arcsin(x),k]+F[\arcsin(y),k]=2F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1+x}}{\sqrt {1+y}}-{\sqrt {1-x}}{\sqrt {1-y}}}{{\sqrt {1+kx}}{\sqrt {1+ky}}+{\sqrt {1-kx}}{\sqrt {1-ky}}}}\right),k\right]

Modultransformation

Mit folgenden Formeln wird der Modul transformiert:

F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left\{\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right\}

E{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}=(1+{\sqrt {1-k^{2}}})E\left\{\arcsin \left[{\frac {(1+{\sqrt {1-k^{2}}})x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right],{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right\}-{\sqrt {1-k^{2}}}F{\bigl [}\arcsin(x),k{\bigr ]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}

Inesbesondere die analoge vollständige Formel wurde durch die Gebrüder Borwein in ihrem Werk Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity behandelt.

Für alle Werte n ∈ ℕ und |k| ≤ 1 gilt folgende Formel:

{\biggl \{}\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}{\biggr \}}F{\bigl [}\arctan(x);k{\bigr ]}=F{\biggl \langle }\sum _{a=1}^{n}\arctan {\bigl \{}\operatorname {dn} {\bigl [}{\frac {2a}{n}}K(k);k{\bigr ]}x{\bigr \}};k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\frac {2a-1}{n}}K(k);k{\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }

Alternative Darstellungen

Symmetrische Carlson-Formen

Die symmetrischen Carlson-Formen sind eine alternative Menge an Funktionen, durch die die klassischen elliptischen Integrale ausgedrückt werden können. Die moderneren Carlson-Formen wurden erst in den 1960er Jahren erfunden, während die Legendre-Formen bereits 1825 formuliert worden waren. Die Carlson-Formen bieten einige Vorteile gegenüber den klassischen elliptischen Integralen.

Unvollständige elliptische Integrale

Unvollständige elliptische Integrale können mit Hilfe der symmetrischen Carlson-Formen $R_{F}$ , $R_{D}$ und $R_{J}$ ausgerückt werden:

F(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)

E(\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)-{\tfrac {1}{3}}{m\sin ^{3}}\varphi \;R_{D}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)

\Pi (n,\varphi ,m)=\sin \varphi \;R_{F}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1)+{\tfrac {1}{3}}{n\sin ^{3}}\phi \;R_{J}({\cos ^{2}}\varphi ,1-{m\sin ^{2}}\varphi ,1,1-{n\sin ^{2}}\varphi )

(für $0\leq \varphi \leq 2\pi$ und $0\leq {m\sin ^{2}}\varphi \leq 1$ )

Vollständige elliptische Integrale

Vollständige elliptischen Integrale erhält man durch Einsetzen von φ = π/2:

K(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)

E(m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)-{\tfrac {1}{3}}mR_{D}\left(0,1-m,1\right)

\Pi (n,m)=R_{F}\left(0,1-m,1\right)+{\tfrac {1}{3}}nR_{J}\left(0,1-m,1,1-n\right)

Bulirsch-Integrale

Eine alternative Darstellung der unvollständigen elliptischen Integrale sind die Bulirsch-Integrale.[5][6]

Unvollständige Bulirsch-Integrale

Die unvollständigen Bulirsch-Integrale sind:

\operatorname {el1} (x,k_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta

\operatorname {el2} (x,k_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta

\operatorname {el3} (x,k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta

Eine verallgemeinerte Version wurde 1994 zusammen mit einem effizienten Berechnungsalgorithmus eingeführt:[7]

\operatorname {el} (x,k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\arctan x}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta

.

Relation zu den Legendre-Normalformen:

{\begin{aligned}F(\varphi ,m)&=\operatorname {el1} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\\\Pi (n,\varphi ,m)&=\operatorname {el3} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\quad ,\quad |\varphi |\leq \pi /2\end{aligned}}

Die Bulirsch-Integrale haben den Vorteil, dass bestimmte in der Praxis vorkommende Kombinationen der Legendre-Elliptischen-Integrale als gemeinsame Funktion dargestellt werden können, und damit numerische Instabilitäten und undefinierte Wertebereiche vermieden werden können:[7]

{\begin{aligned}\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,E(\varphi ,m)&=\operatorname {el2} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,F(\varphi ,m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {F(\varphi ,m)-E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)F(\varphi ,m)+E(\varphi ,m)}{m}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,\varphi ,m)-F(\varphi ,m)}{n}}&=\operatorname {el} (\tan \varphi ,{\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}

Vollständige Bulirsch-Integrale

Die vollständigen Bulirsch-Integrale sind

\operatorname {cel1} (k_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta

\operatorname {cel2} (k_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\,{\cos ^{2}}\theta +b\,{\sin ^{2}}\theta }{\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta

\operatorname {cel3} (k_{c},n_{c})=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{({\cos ^{2}}\theta +n_{c}\,{\sin ^{2}}\theta ){\sqrt {{\cos ^{2}}\theta +k_{c}^{2}\,{\sin ^{2}}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta

und das verallgemeinerte vollständige Bulirsch-Integral[6]

\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta }{(\cos ^{2}\theta +n_{c}\sin ^{2}\theta ){\sqrt {\cos ^{2}\theta +k_{c}^{2}\sin ^{2}\theta }}}}\,\mathrm {d} \theta

.

Es gilt[8]

{\begin{aligned}K(m)&=\operatorname {cel1} ({\sqrt {1-m}})&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},p,1,p)\quad ,\quad p{\text{ beliebig}}\\E(m)&=\operatorname {cel2} ({\sqrt {1-m}},1,1-m)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,1-m)\\\Pi (n,m)&=\operatorname {cel3} ({\sqrt {1-m}},1-n)&&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,1,1)\end{aligned}}

Linearkombinationen vollständiger Legendre-Integrale:

{\begin{aligned}\lambda \,K(m)+\mu \,E(m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,\lambda +\mu ,\lambda +\mu (1-m))\\\lambda \,K(m)+\mu \,\Pi (n,m)&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,\lambda +\mu ,\lambda (1-n)+\mu )\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {K(m)-E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,0,1)\\{\frac {(m-1)K(m)+E(m)}{m}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1,1,0)\\{\frac {\Pi (n,m)-K(m)}{n}}&=\operatorname {cel} ({\sqrt {1-m}},1-n,0,1)\end{aligned}}

{\begin{aligned}\operatorname {cel} (k_{c},1,a,b)&={\frac {a-b}{1-k_{c}^{2}}}\,E(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,k_{c}^{2}}{1-k_{c}^{2}}}\,K(1-k_{c}^{2})\\\operatorname {cel} (k_{c},n_{c},a,b)&={\frac {a-b}{1-n_{c}}}\,K(1-k_{c}^{2})+{\frac {b-a\,n_{c}}{1-n_{c}}}\,\Pi (1-n_{c},1-k_{c}^{2})\end{aligned}}

Numerische Auswertung

Die elliptischen Integrale können mit Hilfe des oben genannten arithmetisch-geometrischen Mittelwertes (AGM) effizient berechnet werden. Sie können auch zur Auswertung in die symmetrische Carlson-Form überführt werden.[9] Zur numerischen Auswertung der Carlson-Formen existieren zum AGM ähnliche Algorithmen.[10] Eine Annäherung mit Hilfe von gebrochenrationalen Funktionen höherer Ordnung ist auch möglich.[11] Zu den derzeit effizientesten Verfahren gehört die Auswertung mit Hilfe des Bulirsch-Algorithmus.[12]

Bezug zur Gammafunktion

Für alle n ∈ ℕ gilt folgender Zusammenhang zwischen der Gammafunktion und den elliptischen Integralen:

{\frac {2^{2/n}\Gamma (1+1/n)^{2}}{\Gamma (1+2/n)}}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{n}}}}\mathrm {d} x

Die Richtigkeit dieser Formel wird im Artikel Gammafunktion erklärt.

Bei der Berechnung des abgebildeten Integrals für die Werte n = 3, 4, 6 und 8 erhält man folgende Resultate:

{\begin{aligned}{\frac {{\sqrt[{3}]{4}}\,\Gamma (4/3)^{2}}{\Gamma (5/3)}}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{3}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{{\sqrt {1+x+x^{2}}}+{\sqrt {1-x}}}}{\biggr )};{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\\&={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}F{\biggl [}2\arctan {\bigl (}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}{\bigr )};{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}={\frac {2}{3{\sqrt[{4}]{3}}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}={\frac {2}{\sqrt[{4}]{27}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}\\{\frac {{\sqrt {2}}\,\Gamma (5/4)^{2}}{\Gamma (3/2)}}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{\sqrt {2}}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )};{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}K{\bigl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}\\{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}\,\Gamma (7/6)^{2}}{\Gamma (4/3)}}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{6}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{2{\sqrt[{4}]{3}}}}F{\biggl [}2\arctan {\biggl (}{\frac {{\sqrt[{4}]{3}}x}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )},{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{3}}}K{\bigl (}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}{\bigr )}\\{\frac {{\sqrt[{4}]{2}}\,\Gamma (9/8)^{2}}{\Gamma (5/4)}}&=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{8}}}}\mathrm {d} x={\biggl \{}{\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arctan {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}{\biggr )},{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\biggr ]}+{\frac {1}{2}}F{\biggl [}\arcsin {\biggl (}{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}}{\sqrt {1+x^{2}}}}{\biggr )},{\sqrt {2}}-1{\biggr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\\&={\frac {1}{2}}K{\bigl (}{\sqrt {2{\sqrt {2}}-2}}{\bigr )}={\frac {1}{\sqrt {2}}}K{\bigl (}{\sqrt {2}}-1{\bigr )}\end{aligned}}

Mit der Berechnung dieser Integrale und der Anwendung der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes lassen sich die Gamma-Funktionswerte ermitteln. Der erste[13] und dritte[14] Gleichungskette von den hier genannten Gleichungsketten stellen äquianharmonische Rechenbeispiele dar. Die Herleitung dieser gezeigten Integrale wurde insbesondere durch den Mathematiker Mark B. Villarino aus der Universität Costa Rica behandelt und in seinem Werk Legendre’s Singular Modulus niedergeschrieben. Die zweite[15][16] Gleichungskette repräsentiert ein lemniskatisches Rechenbeispiel, nämlich den lemniskatischen Arkussinus und behandelt hierbei seine Identität mit dem Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei als elliptischen Modul. Die vierte Gleichungskette[17] beinhaltet eine Stammfunktion, welche keine Umkehrfunktion einer Jacobi-Funktion darstellt, aber in so wie die vorherigen Gleichungsketten auf den von rationalen Zahlen kommenden elliptischen Lambda-Stern-Werten als Module basiert.

Legendresche Identität

Zwei Standardformeln für die Legendresche Identität

Das vollständige elliptische Integral erster Art (Jacobische Viertelperiode) und das vollständige elliptische Integral zweiter Art von zwei zueinander elliptisch gegenverwandten Modulen stehen in der Beziehung[18] der Legendreschen Identität zueinander.

Für zwei Module, welche zueinander pythagoräische Gegenstücke sind, gilt diese Beziehung:[19][20]

K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi

Und für zwei Module, welche zueinander tangentielle Gegenstücke sind, gilt jene Beziehung:

(1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi

Spezielle Identität für den lemniskatischen Fall

Für den lemniskatischen Fall ist das elliptische Modul beziehungsweise die spezifische Exzentrizität ε gleich der Hälfte der Quadratwurzel aus zwei. Die Legendresche Identität für den lemniskatischen Fall kann so bewiesen werden:

Nach der Kettenregel gelten diese Ableitungen:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\,2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(xy);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}={\frac {{\sqrt {2}}\,x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}

Dann ist folgende Formel gültig:

{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}\,+

+\,{\frac {{\sqrt {2}}\,x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=\int _{0}^{1}{\frac {2\,x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}\,y^{4})}}}\,\mathrm {d} y

Durch die Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x von der nun gezeigten Funktion entsteht diese Formel:

{\biggl \{}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}{\biggl \{}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-2E{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}+F{\biggl [}\arccos(x);{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\biggr ]}{\biggr \}}=

=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1){\biggl [}{\text{artanh}}(y^{2})-{\text{artanh}}{\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y

Wenn der Wert $x=1$ in die zuletzt genannte Integralidentität eingesetzt wird, dann entsteht folgende Identität:

K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggl [}2\,E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\biggr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {1}{y^{2}}}(y^{2}+1)\,{\text{artanh}}(y^{2})\,\mathrm {d} y=

={\biggl [}2\arctan(y)-{\frac {1}{y}}(1-y^{2})\,{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=2\arctan(1)={\frac {\pi }{2}}

So kommt dann dieser Ausschnitt aus der Legendreschen Identität hervor:

2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}

Verallgemeinerung für den Gesamtfall

Nun soll im Folgenden der moduläre Allgemeinfall[21][22] bewiesen werden. Hierfür werden die Ableitungen der vollständigen elliptischen Integrale hergeleitet. Und im Anschluss wird die Ableitung der Legendreschen Identitätsbilanz ermittelt.

Diese Ableitungen sind gültig:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )=-\,{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}

Denn die Ableitung der Kreisfunktion ist das negative Produkt aus der identischer Abbildungsfunktion und dem Kehrwert der Kreisfunktion. Die Legendresche Identität beinhaltet Produkte von jeweils zwei vollständigen elliptischen Integralen. Für die Ableitung der Funktionsseite von der Gleichungswaage der Legendreschen Identität wird die Produktregel im nun Folgenden angewendet:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}

Wenn von diesen drei Gleichungen die beiden oberen Gleichungen addiert werden und die unterste Gleichung subtrahiert wird, dann entsteht dieses Resultat:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0

Bezüglich ε ergibt die Bilanz konstant den Wert Null.

Für den Modul $\varepsilon =1/{\sqrt {2}}$ gilt das zuvor ermittelte Resultat:

2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}

Die Kombination der beiden zuletzt genannten Formeln ruft folgendes Ergebnis hervor:

K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi

Denn wenn die Ableitung einer kontinuierlichen Funktion konstant den Wert Null annimmt, dann ist die betroffene Funktion eine konstante Funktion. Das bedeutet, dass diese Funktion für jeden Abszissenwert ε den gleichen Funktionswert ergibt und der zugehörige Funktionsgraph somit eine waagrechte Gerade ist.

Ramanujansche Kreiszahlformeln

Exakte Summenformel von Ramanujan

Mit folgender Formel über vollständige elliptische Integrale erster und zweiter Art lassen sich viele exemplarische Formeln rein algebraischer Art erzeugen, welche sehr schnell exakt zur Kreiszahl konvergieren. Dieses Verfahren wurde durch Srinivasa Ramanujan entdeckt und in seinen Aufzeichnungen im Jahre 1814 niedergeschrieben:

{\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{256^{n}(n!)^{4}}}\sin {\bigl [}4\arctan(k){\bigr ]}^{2n}{\biggl \{}{\frac {(1-k^{2})K(k')}{(1+k^{2})^{2}K(k)}}-{\frac {4E(k)K(k')-\pi }{4(1+k^{2})K(k)^{2}}}+\cos {\bigl [}4\arctan(k){\bigr ]}{\frac {K(k')}{K(k)}}n{\biggr \}}

Diese Formeln ist für alle Werte $0<k<{\sqrt {2}}-1$ gültig.

Tabellarisch werden hiermit einzelne Exemplare von elliptischem Modul und zugehöriger Kreiszahlformel aufgelistet. Dabei wird der jeweilige Modul k mit Hilfe der Elliptischen Lambda-Stern-Funktion angegeben:

Elliptischer Modul	Kreiszahlformel
$k=\lambda ^{*}(6)=(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(1+8n)}{2{\sqrt {3}}(n!)^{4}48^{2n}}}$
$k=\lambda ^{*}(10)=({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4n)!(1+10n)}{9(n!)^{4}12^{4n}}}$
$k=\lambda ^{*}(18)=({\sqrt {2}}-1)^{3}(2-{\sqrt {3}})^{2}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {3{\sqrt {3}}(4n)!(3+40n)}{49(n!)^{4}28^{4n}}}$
$k=\lambda ^{*}(22)=(10-3{\sqrt {11}})(3{\sqrt {11}}-7{\sqrt {2}})$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!(19+280n)}{18{\sqrt {11}}(n!)^{4}1584^{2n}}}$
$k=\lambda ^{*}(58)=(13{\sqrt {58}}-99)({\sqrt {2}}-1)^{6}$	${\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}(4n)!(1103+26390n)}{9801(n!)^{4}396^{4n}}}$

Elliptische Alphafunktion

Die zuletzt genannte Formel ist die berühmteste unter diesen Formeln. Auf diesen Formeln[23] über die Elliptische Alphafunktion basiert die genannte verallgemeinerte Summenformel für den Kreiszahlkehrwert:

\alpha (r)={\frac {E[\lambda ^{*}(1/r)]}{K[\lambda ^{*}(r)]}}-{\frac {\pi }{4\,K[\lambda ^{*}(r)]^{2}}}

\alpha {\bigl [}K({\sqrt {1-k^{2}}})^{2}/K(k)^{2}{\bigr ]}={\frac {\pi }{4\,K(k)^{2}}}+{\frac {K(k')}{K(k)}}-{\frac {E(k)K(k')}{K(k)^{2}}}

\lim _{r\rightarrow \infty }{\frac {\exp(\pi {\sqrt {r}}){\bigl [}\pi \,\alpha (r)-1{\bigr ]}}{8\pi {\sqrt {r}}-8}}=1

{\frac {1}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!}{256^{n}(n!)^{4}}}\sin {\bigl [}4\arctan(k){\bigr ]}^{2n}{\biggl \{}-{\frac {1}{2}}\sin {\bigl [}2\arctan(k){\bigr ]}^{2}{\frac {K(k')}{K(k)}}+{\frac {\alpha {\bigl [}K({\sqrt {1-k^{2}}})^{2}/K(k)^{2}{\bigr ]}}{1+k^{2}}}+\cos {\bigl [}4\arctan(k){\bigr ]}{\frac {K(k')}{K(k)}}n{\biggr \}}

Diese Formeln wurden durch die Gebrüder Peter und Jonathan Borwein sowie David Bailey in ihrem gemeinsamen Werk Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi behandelt.[24] Sie arbeiteten die gezeigten Summenformeln für den Kreiszahlkehrwert heraus und drückten die von Srinivasa Ramanujan erforschte Kreiszahlformel mit den standardisierten vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art dar. Dabei verwendeten sie die elliptische Alphafunktion, welche mit der Elliptischen Lambda-Stern-Funktion direkt in Beziehung steht. Bekannt wurden über dieses Werk und über weitere Werke Bailey und die Gebrüder Borwein auch mit den nach ihnen benannten BBP-Formeln mit einer jedoch langsameren Konvergenzgeschwindigkeit.

Anwendungsbeispiele

Umfang einer Ellipse

Eine klassische Anwendung ist die Berechnung des Umfangs einer Ellipse. Im Folgenden ist eine Ellipsen-Parameterform ${\boldsymbol {x}}(\psi )$ mit den Halbachsen $a$ , $b$ angegeben. Das Ergebnis stellt sich mit dem vollständigen elliptischen Integral II. Art dar. Hierbei ist die Parameter-Konvention $m=k^{2}$ verwendet.

{\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}(\psi )&={\begin{pmatrix}a\cos \psi \\b\sin \psi \end{pmatrix}}\\U&=\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {x}}}{{\text{d}}\psi }}\right\|\,{\text{d}}\psi =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\psi +b^{2}\cos ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-{\frac {b^{2}-a^{2}}{b^{2}}}\sin ^{2}\psi }}\;{\text{d}}\psi =4b\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)=4a\cdot E\left({\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\,\right)\end{aligned}}

Die Äquivalenz der letzten beiden Ausdrücke ist ersichtlich, wenn vorher $a$ statt $b$ ausgeklammert wird. Im letzten Ausdruck ist $m>0$ für $a>b$ . Die zugehörige Anwendung des unvollständigen elliptischen Integrals II. Art ergibt sich, indem die obere Integrationsgrenze als Variable $\psi$ wie im Folgenden angesetzt wird. Damit ergibt sich die Bogenlänge $s$ der Ellipse in Abhängigkeit vom Parameter $\psi$ .

s(\psi )=\int _{0}^{\psi }{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\xi +b^{2}\cos ^{2}\xi }}\;{\text{d}}\xi =b\cdot E\left(\psi ,\;{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}}}\,\right)

Umfang und Flächeninhalt einer Cassinischen Kurve

Die Cassinischen Kurven gehorchen für den Fall a < c folgender Relation für kartesische Koordinaten:

(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=c^{4}-a^{4}

Dabei ist a die Brennweite und c ist der Abstand zwischen Brennpunkt und Schnittstelle von Graph und Ordinatenachse.

Für den Umfang der Cassinischen Kurve gilt:

U=4cK{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\frac {1}{2}}\arcsin {\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}

Für den Flächeninhalt der Cassinischen Kurve gilt:

A=2c^{2}E{\bigl (}{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\bigr )}

Mathematisches Pendel

Eine klassische Anwendung der elliptischen Integrale ist die exakte Bewegung eines Pendels, bei welcher die Schwingungsdauer bei gegebenem Maximalauslenkungswinkel und gegebener Fadenlänge auf folgende Weise berechnet werden kann:

T(\varphi _{\max })=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{2}}\varphi _{\max }){\bigr ]}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\sec({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}\,K{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{4}}\varphi _{\max })^{2}{\bigr ]}

Dabei ist g ≈ 9,81 m/s² die Fallbeschleunigung der Erde.

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung

Eine klassische Problemstellung aus der Elektrostatik ist die Berechnung des elektrischen Skalarpotentials $\varphi _{e}$ bei gegebener räumlicher Ladungsverteilung. Bei einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Ladungsverteilung lässt sich das elektrische Skalarpotential mit Hilfe des vollständigen elliptischen Integrals 1. Art beschreiben. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention $K(m)$ mit $m=k^{2}$ angegeben. In der angegebenen Lösung repräsentiert $Q$ die elektrische Gesamtladung, $R$ den Radius des Ringes und $\varepsilon _{0}$ die Vakuum-Permittivität. Weiterhin ist das Skalarpotential mit den Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ angegeben. Da keine Abhängigkeit bezüglich der Azimut-Koordinate $\varphi$ besteht, ist ersichtlich, dass es sich um eine zylindersymmetrische Problemstellung handelt.

\varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {Q}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\frac {Q}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}\cdot K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)

Elektrisches Skalarpotential einer homogenen, kontinuierlichen, ringförmigen Dipolverteilung

Neben der einfachen Ladungsverteilung besteht ebenfalls die Möglichkeit, eine ringförmige Verteilung axial ausgerichteter Dipole zu betrachten. Die Lösung des elektrischen Skalarpotentials ist im Folgenden angegeben. Dabei repräsentiert $p_{z}$ die $z$ -Komponente des elektrischen Dipolmoments, $R$ den Radius des Ringes und $\varepsilon _{0}$ die Vakuum-Permittivität. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention $E(m)$ mit $m=k^{2}$ angegeben.

\varphi _{e}(\rho ,z)={\frac {p_{z}\cdot z}{4\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {{\text{d}}\psi }{{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}^{3}}}={\frac {p_{z}}{2\pi ^{2}\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {z}{((\rho -R)^{2}+z^{2})\cdot {\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}}\cdot E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)

Magnetisches Vektorpotential eines ringförmigen stromdurchflossenen Leiters

Ein Beispiel aus der Magnetostatik stationärer Ströme stellt die Berechnung des Magnetfeldes eines stromdurchflossenen Ringleiters dar. Es bietet sich die Berechnung des magnetischen Vektorpotentials ${\boldsymbol {A}}$ an, aus dem sich in weiterer Betrachtung mit Hilfe der Rotation die magnetische Flussdichte bestimmen lässt. Hier repräsentiert $I$ die elektrische Stromstärke, $R$ den Radius des Ringleiters und $\mu _{0}$ die Vakuum-Permeabilität. Weiterhin ist das magnetische Vektorpotential mit den Zylinderkoordinaten $(\rho ,\varphi ,z)$ und mit dem Einheits-Basisvektor ${\boldsymbol {e}}_{\varphi }$ in azimutaler Richtung angegeben. Die Lösung stellt sich durch eine Kombination von vollständigem elliptischen Integral 1. und 2. Art dar. Das Ergebnis ist hier mit der Parameter-Konvention $E(m),\;K(m)$ mit $m=k^{2}$ angegeben. Zur numerischen Auswertung der angegebenen Funktion eignet sich besonders das weiter oben angegebene Bulirsch-Integral $\operatorname {cel} ()$ . Der Vorteil ist eine höhere numerische Stabilität in der Umgebung $\rho =0$ .[25]

{\boldsymbol {A}}(\rho ,z)={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}IR}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\pi }{\frac {\cos \psi \;{\text{d}}\psi }{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}+R^{2}-2R\rho \cos \psi }}}={\boldsymbol {e}}_{\varphi }\cdot {\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}\cdot {\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\rho ^{2}+R^{2}+z^{2}}{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}}K\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)-{\sqrt {(\rho +R)^{2}+z^{2}}}E\left({\frac {4R\rho }{(\rho +R)^{2}+z^{2}}}\right)\right)

Siehe auch

Literatur

Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. Dover, New York 1972. Seite 589 ff.
Irene Stegun und Milton Abramowitz: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. 9th printing. New York: Dover, p. 591, 1972.
Louis Vessot King: On the direct numerical calculation of elliptic functions and integrals. Cambridge University Press, 1924, archive.org.
Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein: Pi and the AGM. A study in analytical Number Theory and Computational Complexity. John Wiley & Sons, 1987.
Harris Hancock: Elliptic Integrals. John Wiley & Sons, 1917.
P. F. Byrd, M. D. Friedman: Handbook of Elliptic Integrals for Engineers and Scientists. Springer-Verlag, 1971.
Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. AMS, 1997.
Mümtaz Karataş: A multi foci closed Curve: Cassini Oval, its properties and applications. Naval Postgraduate School, Monterey, Kalifornien, 2013, pp. 231–248
Kejing He, Xiaoqiang Zhou, Qian Lin: High accuracy complete elliptic integrals for solving the Hertzian elliptical contact problems. In: Computers and Mathematics with Applications. Band 73, Nr. 1, 2017, S. 122–128, doi:10.1016/j.camwa.2016.11.003.
Borwein, J. M. and Borwein, P. B. Pi & the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. New York: Wiley, 1987.
Peter Borwein, Jonathan Borwein und David Bailey: Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi, or How to Compute One Billion Digits of Pi. Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.
Mark B. Villarino: Legendre’s Singular Modulus. Escuela de Matem ́atica, Universidad de Costa Rica, 11501 San Jos ́e, Costa Rica, 2020.

Weblinks

Elliptic Integrals. Bei: dlmf.nist.gov. (NIST Digital Library of Mathematical Functions).
Eric W. Weisstein: Elliptic Integral. In: MathWorld (englisch).
https://math.stackexchange.com/questions/111921/resources-for-learning-elliptic-integrals

Einzelnachweise

https://digital.library.unt.edu/ark:/67531/metadc40301/m2/1/high_res_d/applmathser55_w.pdf
Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Frankfurt/Main 1991, S. 223.
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[2] Siehe Eric W. Weisstein: Complete Elliptic Integral of the First Kind. In: MathWorld (englisch). Die Form ohne das !!-Symbol stammt aus:
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[25] Peter Lowell Walstrom: Algorithms for Computing the Magnetic Field, Vector Potential, and Field Derivatives for Circular Current Loops in Cylindrical Coordinates. Office of Scientific and Technical Information (OSTI), 24. August 2017, doi:10.2172/1377379.