Kakwani-Index

Aus folgendem Term (vergleiche: Atkinson-Maß!):

${\displaystyle \mu ^{*}=U^{-1}\left[{\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}U\left(x_{i}\right)\right]}$

– wobei ${\displaystyle \mu ^{*}}$ den Vektor des gleichverteilten Äquivalenzeinkommens (equally distributed equivalent income [vector]) darstellt, also die Höhe des gleichverteilten äquivalenten Einkommens angibt –, ist Folgendes ersichtlich:

${\displaystyle M^{*}=\mu (1-A)\,.}$

Für die zugrunde liegende Wohlfahrtsfunktion ${\displaystyle i}$ folgt:

${\displaystyle W-NU\left(\mu ^{*}\right)+NU\{\mu (1-A)\}\,,}$

welche eine monoton steigende Funktion von ${\displaystyle u}$ und eine monoton fallende Funktion von ${\displaystyle A}$ ist. Eine weitere Funktion mit diesen Eigenschaften, die allerdings folgendermaßen lautet:

${\displaystyle W-NU\left({\frac {\mu }{1+K}}\right)\,.}$

Hierbei ist ${\displaystyle K}$ ein Ungleichheitsmaß (dank Kakwani). Durch Hinzufügen der (sozialen) Wohlfahrtsfunktion erhält man:

${\displaystyle \mu ^{*}={\frac {\mu }{1+K}}}$

und folglich:

${\displaystyle K={\frac {\mu }{\mu ^{*}}}-1\,,}$

welches mit ${\displaystyle A}$ in allen Beziehungen bis auf seine Sensitivität (Empfindlichkeit) auf Einkommensunterschiede im Vergleich zur Ungleichheit völlig übereinstimmt. Es ist anzumerken, dass ${\displaystyle (1+K)}$ zu ${\displaystyle (1-A)}$ reziprok ist.

• Pramod Kumar Chaubey (eGyanKosh, IGNOU/Indira Gandhi National Open University): Unit 11: Measures of Inequality – PD/gemeinfrei (PDF-Datei; 3,34 MB).