Kernel-Methode

Sei ${\displaystyle X}$ ein Eingaberaum. Eine Abbildung ${\displaystyle K\colon X\times X\to \mathbb {R} }$ heißt Kernel, wenn es einen Skalarproduktraum ${\displaystyle (F,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ und eine Abbildung ${\displaystyle \phi \colon X\to F}$ in diesen Raum gibt mit: ${\displaystyle K(x,y)=\langle \phi (x),\phi (y)\rangle \;\;\;\forall x,y\in X}$.

${\displaystyle F}$ heißt Featurespace oder Merkmalsraum, ${\displaystyle \phi }$ Featuremapping oder Merkmalsabbildung. Ein Kernel ist also eine Möglichkeit, das Skalarprodukt zweier Punkte ${\displaystyle x,y}$ im Merkmalsraum zu berechnen, ohne die potentiell sehr hochdimensionale Repräsentation ${\displaystyle \phi (x),\phi (y)}$ explizit ausrechnen zu müssen. Dieses Skalarprodukt im Merkmalsraum kann dann für Klassifizierungsalgorithmen wie Support Vector Machines verwendet werden.

In der Praxis muss der Featurespace nicht explizit bekannt sein, da Kernel durch den Satz von Mercer eine einfache Charakterisierung besitzen.

Es gibt verschiedene Arten von Kerneln, die sich zum Teil über Parameter an die gegebene Problemstellung anpassen lassen:

• lineare Kernel ${\displaystyle k(x,y)=\langle x,y\rangle }$
• polynomiale Kernel ${\displaystyle k(x,y)=\langle x,y\rangle ^{d}}$, mit einem freien Parameter ${\displaystyle d}$
• Radiale-Basisfunktion-Kernel (RBF) ${\displaystyle k(x,y)=\exp \left(-{\tfrac {||x-y||^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$, wobei die Bandbreite ${\displaystyle \sigma }$ ein freier Parameter ist
• Fisher Kernel
• Graph Kernel
• Kernel smoother
• String Kernel
• Neural tangent Kernel
• Neural network Gaussian process (NNGP) Kernel

Bei Kernel-Methoden gibt es den Kernel-Trick, mit dem z. B. ein linearer Klassifikator erfolgreich auf nicht linear klassifizierbare Daten angewendet werden kann. Dies wird erreicht, indem man die Daten in einen höherdimensionalen Raum transformiert, in welchem man sich eine bessere lineare Separierbarkeit erhofft (siehe Bild). Dieser Vorgang kann als eine Art Feature-Engineering aufgefasst werden.

Gegeben sei die Abbildung ${\displaystyle \phi ((x_{1},x_{2}))=(x_{1},x_{2},x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}$ und ein Kernel ${\displaystyle K(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\phi (\mathbf {x} )\cdot \phi (\mathbf {y} )=\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} +\parallel \mathbf {x} \parallel ^{2}\parallel \mathbf {y} \parallel ^{2}.}$ Dann kann eine SVM mit diesem Kernel K(x , y) die roten und lila Datenpunkte durch eine Hyperebene trennen. Die 2d Trainingspunkte ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ werden durch ${\displaystyle \phi }$ in den 3d-Raum abgebildet ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\phi ((x_{1},x_{2})))}$, wo eine trennende Hyperebene leicht gefunden werden kann.

• Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning. Information Science and Statistics, Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-0387310732
• Nello Cristianini, John Shawe-Taylor: Kernel Methods for Pattern Classification. Cambridge, 2004.
• Bernhard Schölkopf, Alex Smola: Learning with Kernels. MIT Press, Cambridge, MA, 2002.
• Thomas Hofmann, Bernhard Schölkopf, Alexander J Smola: Kernel methods in machine learning. In: Annals Statistics 36 (3) 2008: 1171–1220. PDF.

• http://www.kernel-machines.org/
• http://www.kernel-methods.net