Newtonsches Kugelschalentheorem

Mithilfe des Satzes von Gauß ist das Schalentheorem einfach herleitbar. Das Gravitationspotential ${\displaystyle \phi }$ einer beliebigen Massenverteilung ${\displaystyle \rho }$ folgt der Poisson-Gleichung

${\displaystyle \Delta \phi =4\pi G\rho }$

mit dem Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta ={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}}$ und dem Nabla-Operator ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$. Die Kraft auf eine beliebige Testmasse ${\displaystyle m}$ ist der negative Gradient des Potentials multipliziert mit der Masse, also

${\displaystyle {\vec {F}}=-m{\vec {\nabla }}\phi }$.

Es folgt daher

${\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}=-4\pi Gm\rho }$

und mit dem Satz von Gauß

${\displaystyle \int \mathrm {d} {\vec {A}}\cdot {\vec {F}}=-4\pi Gm\int \mathrm {d} V\,\rho }$.

Die Masseverteilung muss für die Gültigkeit des Schalentheorems radialsymmetrisch sein; es gilt also ${\displaystyle \rho =\rho (r)}$, wobei ${\displaystyle r}$ der Abstand zum Zentrum ist. Daher bietet sich als Integrationsgebiet eine Kugel um das Zentrum der Masseverteilung an. Aus Symmetriegründen kann die Kraft nur vom Zentrum weg oder zum Zentrum hin zeigen und ihr Betrag kann ebenfalls nur vom Abstand zum Zentrum abhängen. Es gilt in Kugelkoordinaten also ${\displaystyle {\vec {F}}=F(r){\vec {e}}_{r}}$ mit dem radialen Einheitsvektor ${\displaystyle {\vec {e}}_{r}}$. Dann wird die Integration über den Raumwinkel trivial und es bleibt eine Integration über den Abstand übrig,

${\displaystyle 4\pi r^{2}F=-(4\pi )^{2}Gm\int _{0}^{r}\mathrm {d} r'\,r'^{2}\rho (r')}$.

Nimmt man nun eine infinitesimal dünne Kugelschale mit Masse ${\displaystyle M}$ und Radius ${\displaystyle R}$, so ist ihre Massendichte ${\displaystyle \rho ={\tfrac {M}{4\pi R^{2}}}\delta (r'-R)}$ mit der Delta-Distribution ${\displaystyle \delta }$. In die obige Formel eingesetzt folgt daraus:

${\displaystyle r^{2}F=-GmM\int _{0}^{r}\mathrm {d} r'{\frac {r'^{2}}{R^{2}}}\delta (r'-R)={\begin{cases}0&r<R\\-GmM&r>R\end{cases}}}$.

Für Abstände, die kleiner als der Radius der Kugelschale sind, wirkt daher keine Kraft, für Abstände, die größer sind, wirkt die Kraft

${\displaystyle {\vec {F}}=-G{\frac {mM}{r^{2}}}{\vec {e}}_{r}}$.

Dies ist von Betrag und Richtung identisch zu einer Kraft, die zwischen zwei Punktmassen mit Abstand ${\displaystyle r}$ wirken würde. Aufgrund des Superpositionsprinzips gilt dies für beliebige radialsymmetrische Masseverteilungen; anschaulich gesprochen kann man beliebig viele solcher Kugelschalen ineinander stapeln.

Skizze zum Beweis. Der Koordinatenursprung liegt auf dem Mittelpunkt der Kugel; die ${\displaystyle z}$-Achse zeigt nach rechts, die ${\displaystyle x}$-Achse nach oben und die ${\displaystyle y}$-Achse aus der Bildebene hinaus. ${\displaystyle \theta }$ ist der Zenitwinkel, nicht eingezeichnet ist die Zerlegung der Kugelscheibe der Höhe ${\displaystyle \mathrm {d} \theta }$ in Flächenelemente der Breite ${\displaystyle \mathrm {d} \varphi }$. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit liege die Testmasse direkt auf der ${\displaystyle z}$-Achse.

Für den direkten Beweis des Schalentheorems nutzt man eine Zerlegung der Hohlkugel mit Radius ${\displaystyle R}$ in infinitesimal kleine Flächenelemente, deren Lage durch den Zenitwinkel ${\displaystyle \theta }$ und den Azimutalwinkel ${\displaystyle \varphi }$ beschrieben werden. Die Masse eines jeden solchen Flächenelements ist ${\displaystyle \mathrm {d} M}$, seine Oberfläche beträgt ${\displaystyle R^{2}\sin \theta \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi }$. Da die Kugelschale homogen ist, gilt

${\displaystyle \mathrm {d} M={\frac {R^{2}\sin \theta \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi }{4\pi R^{2}}}M={\frac {1}{4\pi }}M\sin \theta \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi }$

als Quotient des Flächenelements und der gesamten Oberfläche der Kugel.

Die Kraft, die jedes Flächenelement auf die Testmasse ausübt, ist also

${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {F}}={\frac {Gm}{s^{2}}}\mathrm {d} M{\begin{pmatrix}\sin \phi \cos \varphi \\\sin \phi \sin \varphi \\-\cos \phi \end{pmatrix}}={\frac {1}{4\pi }}{\frac {GmM}{s^{2}}}\sin \theta \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \varphi {\begin{pmatrix}\sin \phi \cos \varphi \\\sin \phi \sin \varphi \\-\cos \phi \end{pmatrix}}}$.

Entsprechend ergibt sich die gesamte Kraft, die die Hohlkugel auf die Testmasse ausübt, durch Integration, wobei die Integration über den Azimutalwinkel trivial ist,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}&=\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta {\frac {1}{4\pi }}{\frac {GmM}{s^{2}}}\sin \theta {\begin{pmatrix}\sin \phi \cos \varphi \\\sin \phi \sin \varphi \\-\cos \phi \end{pmatrix}}\\&=-{\frac {GmM}{2}}\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.

Dass die Kraft nur in Richtung der Kugelmitte zeigt, ergibt sich ebenfalls aus der Azimutalsymmetrie des Problems. Zur Vereinfachung der Notation wird im Folgenden nur diese Komponente betrachtet. Der Winkel ${\displaystyle \phi }$ hängt über den Sinussatz

${\displaystyle \cos \phi ={\sqrt {1-\sin ^{2}\phi }}={\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{s^{2}}}\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{s^{2}}}(1-\cos ^{2}\theta )}}}$

mit dem Winkel ${\displaystyle \theta }$ zusammen, der Abstand ${\displaystyle s}$ über den Cosinussatz

${\displaystyle s^{2}=R^{2}+r^{2}-2rR\cos \theta }$

und das Integral kann mittels

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \sin \theta =\int _{-1}^{1}\mathrm {d} \cos \theta }$

umgeformt werden. Insgesamt ergibt sich daher mit der Vorzeichenfunktion ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$ für den Betrag der Kraft der Ausdruck

${\displaystyle {\begin{aligned}F&=-{\frac {GmM}{2}}\int _{-1}^{1}\mathrm {d} \cos \theta {\frac {1}{R^{2}+r^{2}-2rR\cos \theta }}{\sqrt {1-{\frac {R^{2}(1-\cos ^{2}\theta )}{R^{2}+r^{2}-2rR\cos \theta }}}}\\&=-{\frac {GmM}{2r^{2}}}\left(\operatorname {sgn} (r-R)+1\right)={\begin{cases}0&r<R\\-{\frac {GmM}{r^{2}}}&r>R\end{cases}}.\end{aligned}}}$