Satz von Slutsky

Der Satz von Slutsky bzw. das Slutsky-Theorem, entwickelt von Jewgeni Sluzki (E. Slutsky), ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, der die Konvergenz von Zufallsvariablen betrifft. Der Satz von Slutsky spielt in der Anwendung eine wichtige Rolle, da die Parameter einer Verteilung in der Praxis selten bekannt sind und daher geschätzt werden müssen. Der Satz von Slutsky ermöglicht es, die unbekannten Verteilungsparameter durch geschätzte Größen zu ersetzen, die in Wahrscheinlichkeit gegen den wahren Parameter konvergieren.[1]

Theorem

Falls die Folge von Zufallsvariablen $X_{n}\;$ für $n$ gegen unendlich gegen die Zufallsvariable $X\;$ in Verteilung konvergiert und die Folgen von Zufallsvariablen $A_{n}\;$ und $B_{n}\;$ gegen die Werte $a$ bzw. $b$ in Wahrscheinlichkeit konvergieren, dann konvergiert die Funktion $A_{n}+B_{n}X_{n}\;$ in Verteilung gegen $a+bX\;$ . Kurz:

A_{n}+B_{n}X_{n}\ {\stackrel {\mathcal {D}}{\rightarrow }}\ a+bX

Beweisskizze

Der Satz von Slutsky folgt in dieser Form aus drei Beobachtungen:

Wenn $X_{n}\xrightarrow {\mathcal {D}} X$ und $A_{n}\xrightarrow {\mathbb {P} } a$ bzw. $B_{n}\xrightarrow {\mathbb {P} } b$ , so konvergiert der Zufallsvektor $(X_{n},A_{n},B_{n})$ in Verteilung gegen $(X,a,b)$ .
Konvergenz in Wahrscheinlichkeit impliziert Konvergenz in Verteilung.
Nun wendet man den Satz von der stetigen Abbildung auf $g(x,y,z)=y+zx$ an.

Literatur

Erich L. Lehmann: Elements of large sample theory. Springer, New York 1999, ISBN 0-387-98595-6, S. 70.
Harald Cramér: Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton 1946, S. 254.

Weblinks

Skript zur Wahrscheinlichkeitstheorie (englisch) enthält das Slutsky-Theorem und seinen Beweis. (PDF; 329 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 20. Juli 2004; abgerufen am 23. Juni 2015.
Slutsky-Theorem

Einzelnachweise

Michael Messer, Gaby Schneider: Statistik: Theorie und Praxis im Dialog. Hrsg.: Springer Spektrum. 2019, ISBN 978-3-662-59338-7, S. 19.

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[1] Michael Messer, Gaby Schneider: Statistik: Theorie und Praxis im Dialog. Hrsg.: Springer Spektrum. 2019, ISBN 978-3-662-59338-7, S. 19.