Akar persatuan

Dalam matematika, akar persatuan (terkadang disebut Bilangan de Moivre), adalah bilangan kompleks apapun yang menghasilkan 1 apabila dipangkatkan suatu bilangan bulat $n$ . Akar persatuan digunakan pada berbagai cabang ilmu matematika, dan sangat penting untuk teori bilangan dan transformasi fourier diskrit.

Definisi umum

Akar persatuan ke- $n$ , dimana $n$ adalah bilangan bulat positif, adalah sebuah bilangan $z$ yang memenuhi persamaan

z^{n}=1.

Kecuali kalau ditentukan, akar persatuan dapat dianggap bilangan kompleks (termasuk bilangan 1, dan bilangan −1 jika $n$ itu genap, yang merupakan bilangan kompleks dengan bagian imajinernya 0), dan dalam kasus ini, akar persatuan ke- $n$ ialah

\exp \left({\frac {2k\pi i}{n}}\right)=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},\qquad k=0,1,\dots ,n-1.

Sifat dasar

Setiap perpangkatan bilangan bulat dari akar persatuan ke- $n$ juga merupakan akar persatuan ke- $n$ , sebab

(z^{k})^{n}=z^{kn}=(z^{n})^{k}=1^{k}=1.

Hal ini juga berlaku untuk pangkat negatif. Lebih jelasnya, invers perkalian dari akar persatuan ke- $n$ adalah konjugat kompleksnya, yang sama-sama merupakan akar persatuan ke- $n$ :

{\frac {1}{z}}=z^{-1}=1\cdot z^{-1}=z^{n}\cdot z^{-1}=z^{n-1}={\bar {z}}.

Sifat pada grup

grup semua akar persatuan

Hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar persatuan juga merupakan akar persatuan. Bahkan, jika $x m = 1$ dan $y n = 1$ , maka $(x -1) m = 1$ , dan $(xy) k = 1$ , dimana $k$ adalah kelipatan persekutuan terkecil dari $m$ dan $n$ .

Oleh karena itu, himpunan akar persatuan membentuk grup abelian terhadap perkalian. group ini merupakan subgrup torsi dari grup lingkaran.

Grup akar persatuan ke- $n$

Untuk bilangan bulat n, hasil perkalian dan invers perkalian dari dua akar persatuan ke- $n$ juga merupakan akar persatuan ke- $n$ . Oleh karena itu, akar persatuan ke- $n$ membentuk gruo abelian terhadap perkalian.

Ekspresi trigonometri

Rumus de Moivre, yang valid untuk setiap bilangan riil $x$ dan bilangan bulat $n$ , adalah

\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}=\cos nx+i\sin nx.

Substitusi $x = 2π n$ menghasilkan akar persatuan primitif ke- $n$ – yaitu

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!n}=\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1,

akan tetapi

\left(\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}\right)^{\!k}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}}\neq 1

untuk $k = 1, 2, \dots, n - 1$ . Dengan kata lain,

\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}

merupakan akar persatuan primitif ke- $n$ .

Dalam bidang kompleks, rumus ini menunjukkan kalau akar persatuan ke- $n$ berada pada sudut sebuah segi- $n$ beraturan di dalam lingkaran satuan, dengan satu sudut di 1 (lihat gambar $n = 3$ dan $n = 5$ di kanan).

Rumus Euler

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

yang valid untuk setiap bilangan riil $x$ , bisa digunakan untuk mengubah akar persatuan ke- $n$ dalam bentuk

e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},\quad 0\leq k<n.

Grup siklik

Akar persatuan ke- $n$ membentuk grup siklik dengan orde $n$ terhadap perkalian, dan bahkan grup ini mencakup semua subgrup berhingga dari grup perkalian dalam bidang kompleks.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.