Integral tak tentu

Integral tak tentu atau antiturunan [1] atau antiderivatif (bahasa Inggris: "indefinite integral" atau "antiderivative") adalah suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut "integral tak tentu".

Antiderivatif

Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f maka berlaku F'= f.

Proses untuk memecahkan antiderivatif adalah antidiferensiasi. Antiderivatif yang terkait dengan pasti integral melalui "Teorema dasar kalkulus", dan memberikan cara mudah untuk menghitung integral dari berbagai fungsi.

Tabel integral

\int 1\,\,{\rm {d}}x=x+C

\int x^{n}\ \,{\rm {d}}x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ jika }}n\neq -1

\int {1 \over x}\,{\rm {d}}x=\ln {\left|x\right|}+C

\int {1 \over {a^{2}+x^{2}}}\,{\rm {d}}x={1 \over a}\arctan {x \over a}+C

Contoh

Contoh 1

Temukan antiturunan dari nilai $56x^{55}$ .

Dengan turunan dari nilai $x^{56}$ adalah $56x^{56-1}=56x^{55}$ dan antiturunan dari $56x^{55}$ akan menjadi $x^{56}$ .

Dengan ini dapat mengevaluasi polinomial menggunakan integrasi normal:

$\int 56x^{55}\,dx=56\int x^{55}dx={\frac {56}{55+1}}x^{55+1}+C=x^{56}+C,$

Contoh 2

Temukan antiturunan dari nilai ${\frac {3}{\sqrt {x}}}+{\frac {1}{2}}\sin x.$

Dengan cara ini turunan dari $2{\sqrt {x}}$ adalah ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$ , yaitu

\displaystyle \int {\dfrac {3}{\sqrt {x}}}\,dx=3\times {\big (}2{\sqrt {x}}{\big )}+C=6{\sqrt {x}}+C

dimana C adalah konstanta integral.

Dengan cara ini bahwa turunan dari $-{\frac {1}{2}}\cos x$ adalah ${\frac {1}{2}}\sin x$ , yaitu,

\int \left({\dfrac {3}{\sqrt {x}}}+{\dfrac {1}{2}}\sin x\right)dx=6{\sqrt {x}}-{\dfrac {1}{2}}\cos x+C

Penggunaan

Penentuan integral tentu. Bila fungsi F adalah integral tak tentu dari suatu fungsi f dan F'= f :

\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a)

Referensi

Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII, ISBN 978-602-282-103-8, Jakarta 2015 http://bse.mahoni.com/data/2013/kelas_12sma/siswa/Kelas_12_SMA_Matematika_Siswa.pdf

Pustaka

Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (see also)
Historical Essay On Continuity Of Derivatives, by Dave L. Renfro; http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

Lihat pula

Integral
Garis Singgung ke Kurva
Turunan dengan Prinsip Pertama
Turunan dari Polinomial
Derivatif Fungsi Rasional
Turunan dari Fungsi Eksponensial
Turunan dari Fungsi Logaritmik
Turunan dari Fungsi Trigonometri

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XII, ISBN 978-602-282-103-8, Jakarta 2015 http://bse.mahoni.com/data/2013/kelas_12sma/siswa/Kelas_12_SMA_Matematika_Siswa.pdf