Contoh grup

Grafik siklus untuk ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$. Perulangan menentukan serangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas (e). Misalnya, gelung ${\displaystyle e-ba-ab}$ mencerminkan fakta bahwa ${\displaystyle ba^{2}=ab}$ dan ${\displaystyle ba^{3}=e}$, as serta fakta bahwa ${\displaystyle ab^{2}=ba}$ dan ${\displaystyle ab^{3}=e}$ "Lingkaran" lainnya adalah akar kesatuan sehingga, misalnya ${\displaystyle a^{2}=e}$.

Andaikan tiga blok berwarna (merah, hijau, dan biru), awalnya ditempatkan dalam urutan ${\displaystyle \mathrm {RGB} }$. Misalkan ${\displaystyle a}$ adalah operasi "tukar blok pertama dan blok kedua", dan ${\displaystyle b}$ adalah operasi "tukar blok kedua dan blok ketiga".

Kita dapat menulis ${\displaystyle xy}$ untuk operasi "pertama ${\displaystyle y}$, lalu ${\displaystyle x}$"; sehingga ${\displaystyle ab}$ adalah operasi ${\displaystyle \mathrm {RGB} \to \mathrm {RBG} \to \mathrm {BRG} }$, yang dapat digambarkan sebagai "pindahkan dua blok pertama satu posisi ke kanan dan letakkan blok ketiga di posisi pertama". Jika kita menulis ${\displaystyle e}$ untuk "misalkan blok apa adanya" (operasi identitas), maka kita dapat menulis enam permutasi dari tiga blok sebagai berikut:

• ${\displaystyle e\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RGB} }$
• ${\displaystyle a\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GRB} }$
• ${\displaystyle b\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {RBG} }$
• ${\displaystyle ab\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BRG} }$
• ${\displaystyle ba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {GBR} }$
• ${\displaystyle aba\colon \mathrm {RGB} \to \mathrm {BGR} }$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle aa}$ memiliki efek ${\displaystyle \mathrm {RGB} \to \mathrm {GRB} \to \mathrm {RGB} }$; agar kita dapat menulis ${\displaystyle aa=e}$. Demikian pula, ${\displaystyle bb=(aba)(aba)=e}$; ${\displaystyle (ab)(ba)=(ba)(ab)=e}$; jadi setiap elemen memiliki kebalikan.

Dengan inspeksi, kita dapat menentukan asosiatif dan ketertutupan; perhatikan secara khusus bahwa ${\displaystyle (ba)b=bab=b(ab)}$.

Karena hal tersebut dibangun dari operasi dasar ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$, kita katakan bahwa himpunan ${\displaystyle \{a,b\}}$ membangkit grup ini. Grup yang disebut grup simetrik ${\displaystyle S_{3}}$, memiliki tingkat 6, dan takabelian (karena, misalnya, ${\displaystyle ab\neq ba}$).

Translasi bidang adalah gerakan kaku dari setiap titik bidang untuk jarak tertentu ke arah tertentu.. Misalnya "bergerak ke arah Timur Laut-Timur sejauh 2 mil" adalah translasi dari bidang. Dua translasi seperti ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dapat disusun untuk membentuk translasi baru ${\displaystyle a\circ b}$ sebagai berikut: pertama ikuti resep ${\displaystyle b}$, lalu ${\displaystyle a}$. Misalnya, jika

${\displaystyle a={\text{bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil}}}$

dan

${\displaystyle b={\text{bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil}}}$

maka

${\displaystyle a\circ b={\text{bergerak ke Timur sejauh 5 mil}}}$

(lihat Teorema Pythagoras mengapa demikian, secara geometris).

Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:

1. Jika ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah translasi, maka ${\displaystyle a\circ b}$ juga merupakan translasi.
2. Komposisi translasi bersifat asosiatif: ${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$.
3. Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".
4. Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.

Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kita (tidak terpisah) dari grup Lie: grup yang juga merupakan manifold.

Grafik Cyley dari ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$
${\displaystyle a}$ adalah rotasi searah jarum jam
dan ${\displaystyle b}$ pantulan horizontal.

${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$ sebagai grup titik dua dimensi, ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$, ${\displaystyle [4]}$, ${\displaystyle (^{*}4\bullet )}$, urutan 4, dengan rotasi 4 kali lipat dan pembangkit cermin.

${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$ dalam grup dihedral 3D, ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$, ${\displaystyle [4,2]^{+}}$, ${\displaystyle 422}$, urutan 4, dengan pembangkit rotasi 4 kali lipat vertikal urutan 4, dan pembangkit horizontal 2 kali lipat

Grafik Cayley pada ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$

Grafik Cayley yang berbeda dari Dih₄, dihasilkan oleh pantulan horizontal b dan pantulan diagonal c

Grup sangat penting untuk mendeskripsikan simetri objek, baik itu geometris (seperti tetrahedron) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).

Untuk mendeskripsikan simetrinya, kita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar ${\displaystyle 90^{\circ }}$ searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya ${\displaystyle a}$. Kita juga dapat membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan. Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kita dan kita menyebutnya ${\displaystyle b}$.Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan ${\displaystyle e}$.

Diberikan dua gerakan seperti ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$, dimungkinkan untuk menentukan komposisi ${\displaystyle x\circ y}$ seperti di atas: pertama dilakukan gerakan y , diikuti gerakan ${\displaystyle x}$. Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.

Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.

Subgrup normal

Gugus dihedral tingkat 8 bersifat isomorfik terhadap grup permutasi yang dihasilkan oleh (1234) dan (13).

Versi tabel Cayley ini menunjukkan bahwa grup ini memiliki satu subgrup normal yang ditampilkan dengan latar belakang merah. Dalam tabel ini ${\displaystyle r}$ berarti rotasi, dan ${\displaystyle f}$ berarti membalik. Karena subgrupnya normal, kohimpunan kiri sama dengan koset kanan.

Tabel grup pada D₄

	e	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
e	e	r1	r2	r3	fv	fh	fd	fc
r1	r1	r2	r3	e	fc	fd	fv	fh
r2	r2	r3	e	r1	fh	fv	fc	fd
r3	r3	e	r1	r2	fd	fc	fh	fv
fv	fv	fd	fh	fc	e	r2	r1	r3
fh	fh	fc	fv	fd	r2	e	r3	r1
fd	fd	fh	fc	fv	r3	r1	e	r2
fc	fc	fv	fd	fh	r1	r3	r2	e
Elemen e, r1, r2, dan r3 membentuk subgrup, disorot di   merah (wilayah kiri atas). Coset kiri dan kanan subgrup ini disorot di   hijau (di baris terakhir) dan   kuning (kolom terakhir), masing-masing.

Grup bebas dengan dua pembangkit a dan b terdiri dari semua pita hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol a, a⁻¹, b dan b⁻¹ sedemikian rupa sehingga tidak ada a yang muncul tepat di sebelah a⁻¹ dan tidak ada b yang muncul tepat di sebelah a b⁻¹. Dua string tersebut dapat digabungkan dan diubah menjadi string jenis ini dengan berulang kali mengganti substring "terlarang" dengan string kosong. Misalnya: "abab⁻¹a⁻¹" concatenated with "abab⁻¹a" yields "abab⁻¹a⁻¹abab⁻¹a", yang direduksi menjadi "abaab⁻¹a". Seseorang dapat memeriksa bahwa himpunan string tersebut dengan operasi ini membentuk grup dengan elemen netral string kosong ε: = "". (Biasanya tanda petik tidak ada; inilah mengapa simbol ε! Adalah yg dibutuhkan)

Ini adalah grup takabelian tak terbatas lainnya.

Grup bebas penting dalam topologi aljabar; grup bebas dalam dua pembangkit juga digunakan untuk membuktikan paradoks Banach–Tarski.

• Daftar grup kecil
• Daftar 230 grup ruang 3D kristalografi