Barisan sempurna

Untuk memahami definisi tersebut, akan sangat membantu jika mempertimbangkan kasus-kasus yang relatif sederhana di mana urutannya terbatas dan dimulai atau diakhiri dengan grup gabungan. Secara tradisional, ini, bersama dengan elemen identitas tunggal, dilambangkan dengan 0 (notasi aditif, biasanya jika grupnya abelian), atau dilambangkan 1 (notasi perkalian).

• Pertimbangkan urutan 0 → A → B. Gambar peta paling kiri adalah 0. Oleh karena itu urutannya tepat jika dan hanya jika peta paling kanan (dari A hingga B) memiliki kernel {0}; yaitu, jika dan hanya jika peta itu adalah monomorfisme (injektif, atau satu-ke-satu).
• Pertimbangkan urutan ganda B → C → 0. Kernel peta paling kanan adalah C. Oleh karena itu, urutannya tepat jika dan hanya jika gambar peta paling kiri (dari B hingga C) semuanya C ; yaitu, jika dan hanya jika peta itu adalah epimorfisme (perkiraan, atau ke atas).
• Oleh karena itu, urutan 0 → X → Y → 0 tepat jika dan hanya jika peta dari X hingga Y adalah monomorfisme dan epimorfisme (yaitu, bimorfisme), dan dengan demikian, dalam banyak kasus, isomorfisme dari X menjadi Y.

Yang penting adalah urutan persis pendek, yang merupakan urutan persis dari bentuk

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

Seperti yang ditetapkan di atas, untuk urutan persis pendek seperti itu, f adalah monomorfisme dan g adalah epimorfisme. Selanjutnya, citra f sama dengan kernel g. Sangat membantu untuk menganggap A sebagai subobjek dari B dengan f menambahkan A ke B, dan C sebagai objek faktor terkait (atau hasil bagi), B/A, dengan g menginduksi isomorfisme

${\displaystyle C\cong B/\operatorname {im} (f)}$

Urutan persis pendek

${\displaystyle 0\to A\;{\xrightarrow {\ f\ }}\;B\;{\xrightarrow {\ g\ }}\;C\to 0}$

Disebut 'split' jika terdapat homomorfisme h : C → B sedemikian rupa sehingga komposisi g ∘ h adalah peta identitas pada C. Oleh karena itu, jika ini adalah grup abelian, B isomorfik terhadap jumlah langsung dari A dan C (lihat Memisahkan lemma):

${\displaystyle B\cong A\oplus C.}$

Urutan persis panjang adalah urutan tepat yang terdiri dari lebih dari tiga suku bukan nol, sering kali merupakan urutan persis tak terbatas.

Urutan persis panjang

${\displaystyle A_{0}\;{\xrightarrow {\ f_{1}\ }}\;A_{1}\;{\xrightarrow {\ f_{2}\ }}\;A_{2}\;{\xrightarrow {\ f_{3}\ }}\;\cdots \;{\xrightarrow {\ f_{n}\ }}\;A_{n}}$

setara dengan urutan urutan yang tepat pendek

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{0}\;\rightarrow \;K_{1}\;\rightarrow \;0\;,\\0\;\rightarrow \;K_{1}\rightarrow {}&A_{1}\;\rightarrow \;K_{2}\;\rightarrow \;0\;,\\\vdots \,\,\,\,\\0\;\rightarrow \;K_{n-1}\rightarrow {}&A_{n-1}\rightarrow \;K_{n}\;\rightarrow \;0\;,\\0\;\rightarrow K_{n}\rightarrow {}&A_{n}\end{aligned}}}$

dimana ${\displaystyle K_{i}=\operatorname {im} (f_{i})=\ker(f_{i+1})}$ untuk ${\displaystyle i}$.

Pertimbangkan urutan grup abelian berikut:

${\displaystyle \mathbf {Z} \;\;{\overset {2\times }{\hookrightarrow }}\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Homomorfisme pertama memetakan setiap elemen i dalam himpunan bilangan bulat Z ke elemen 2i dalam Z. Homomorfisme kedua memetakan setiap elemen i dalam Z, yaitu j = i mod 2. Di sini panah kait ${\displaystyle \hookrightarrow }$ menunjukkan bahwa peta 2 × dari Z ke Z adalah monomorfisme, dan panah berkepala dua ${\displaystyle \twoheadrightarrow }$ menunjukkan epimorfisme (mod peta 2). Ini adalah urutan yang tepat karena galeri 2Z dari monomorfisme adalah inti dari epimorfisme. Pada dasarnya urutan "sama" juga dapat ditulis sebagai

${\displaystyle 2\mathbf {Z} \;\;{\hookrightarrow }\;\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} }$

Dalam hal ini monomorfismenya adalah 2n ↦ 2n dan meskipun terlihat seperti fungsi identitas, ia tidak (yaitu bukan epimorfisme) karena bilangan ganjil bukan milik 2'Z. Gambar dari 2 'Z melalui monomorfisme ini adalah bagian yang dari Z sebagai gambar dari Z hingga n ↦ 2n yang digunakan dalam urutan sebelumnya. Urutan terakhir ini berbeda dalam sifat konkret dari objek pertama dari yang sebelumnya karena 2Z tidak sama dengan Z meskipun keduanya isomorfik sebagai grup.

Urutan pertama juga dapat ditulis tanpa menggunakan simbol khusus untuk monomorfisme dan epimorfisme:

${\displaystyle 0\;\to \;\mathbf {Z} \;\;{\overset {2\times }{\longrightarrow }}\;\;\mathbf {Z} \;\longrightarrow \;\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \;\to \;\ 0}$

Di sini 0 menunjukkan grup trivial, peta dari 'Z' ke 'Z' adalah perkalian 2, dan peta dari 'Z' ke grup faktor ' Z '/ 2' Z 'diberikan dengan mengurangi integer modulo. Ini memang urutan yang tepat:

• gambar peta 0 → Z adalah {0}, dan kernel perkalian dengan 2 juga adalah {0}, jadi urutannya tepat di Z pertama.
• gambar perkalian dengan 2 adalah 2 Z, dan inti pengurang modulo 2 juga 2 Z, jadi urutannya tepat di Z kedua.
• gambar pengurangan modulo 2 adalah Z/2Z, dan kernel peta nol juga Z/2Z, jadi urutannya tepat pada posisinya Z/2Z.

Urutan pertama dan ketiga adalah kasus khusus karena sifat tak terbatas dari Z. Tidaklah mungkin bagi grup terbatas untuk dipetakan dengan inklusi (yaitu dengan monomorfisme) sebagai subgrup yang tepat dari dirinya sendiri. Sebaliknya urutan yang muncul dari teorema isomorfisme pertama adalah

${\displaystyle 1\to N\to G\to G/N\to 1}$

Sebagai contoh yang lebih konkret dari urutan yang tepat pada urutan:

${\displaystyle 1\to C_{n}\to D_{2n}\to C_{2}\to 1}$

di mana ${\displaystyle C_{n}}$ adalah grup siklik dari order n dan ${\displaystyle D_{2n}}$ adalah grup dihedral dari order 2n, yang merupakan grup non-abelian.

Misalkan I dan J adalah dua ideal dari sebuah cincin R. Kemudian

${\displaystyle 0\to I\cap J\to I\oplus J\to I+J\to 0}$

adalah urutan yang tepat dari modul R, dengan homomorfisme modul ${\displaystyle I\cap J\to I\oplus J}$ memetakan setiap elemen x ${\displaystyle I\cap J}$ ke elemen ${\displaystyle (x,x)}$ dari jumlah langsung ${\displaystyle I\oplus J}$, dan homomorfisme ${\displaystyle I\oplus J\to I+J}$ memetakan setiap elemen ${\displaystyle (x,y)}$ dari ${\displaystyle I\oplus J}$ ke ${\displaystyle x-y}$.

Homomorfisme ini adalah batasan dari homomorfisme yang didefinisikan serupa yang membentuk urutan persis pendek

${\displaystyle 0\to R\to R\oplus R\to R\to 0}$

Meneruskan ke modul hasil bagi menghasilkan urutan yang sama persis

${\displaystyle 0\to R/(I\cap J)\to R/I\oplus R/J\to R/(I+J)\to 0}$