Homotopia

Duas funções contínuas ${\displaystyle f,g:X\rightarrow Y}$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua ${\displaystyle F:X\times [0,1]\rightarrow Y}$, chamada homotopia, tal que ${\displaystyle F_{0}=f}$ e ${\displaystyle F_{1}=g}$, onde ${\displaystyle F_{t}=F_{|X\times \{t\}}}$.

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico ${\displaystyle X}$, com ponto base ${\displaystyle x_{0}}$, que se representa por ${\displaystyle \pi _{n}(X,x_{0})}$, é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas ${\displaystyle \alpha$ :[0,1]^{n}\rightarrow X} tais que ${\displaystyle \alpha (\partial [0,1]^{n})=\{x_{0}\}}$, munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Dois espaços topológicos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ e ${\displaystyle g:Y\rightarrow X}$ tais ${\displaystyle f\circ g}$ e ${\displaystyle g\circ f}$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle X}$. Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.