Operador linear limitado

Seja ${\displaystyle L:X\to Y\,}$ uma transformação linear entre espaços normados X e Y. Então L é um operador linear limitado se existe um número M > 0 tal que:

${\displaystyle \forall v,\|Lv\|_{Y}\leq M\|v\|_{X}.\,}$

• Um operador linear é limitado se e somente se é contínuo e se e somente se é contínuo na origem.

• O conjunto de todos os operadores lineares limitados de ${\displaystyle X\,}$ em ${\displaystyle Y\,}$ é um espaço normado, munida da norma operacional:

${\displaystyle \|L\|_{X\to Y}=\sup _{x\in X,\|x\|_{X}\leq 1}\|Lx\|_{Y}}$

• Se ${\displaystyle X\,}$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

• Se ${\displaystyle X\,}$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

• Todo operador linear limitado é fechado.

• Todo operador linear num espaço de dimensão finita é contínuo.