Arcoseno

Definición

La función seno es estrictamente creciente y continua si se restringe al intervalo $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ . En ese caso a cada número b del intervalo $[-1;1]$ le corresponde un único número de $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ tal que :

\operatorname {sen} a=b

.

Notamos entonces :

a=\operatorname {arcsen} b

Hemos trazado la curva de arcoseno en $[-1;1]$ . Esta se deduce de la de seno al ser simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Variaciones

La función arcsen está estrictamente restringida en el intérvalo [-1;1].

Tabla de variación

x

-1

+1

\operatorname {arcsen}

		$+{\frac {\pi }{2}}$
	$\nearrow$
$-{\frac {\pi }{2}}$

Derivada

Teorema

La función Arcsin es derivable en ]-1;1[

$\operatorname {Arcsin} '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Demostración

Por definición:

\forall x\in [-1;+1],~\sin(\operatorname {Arcsin} \;x)=x

En derivada en relación,encontramos:

\cos(\operatorname {Arcsin} \;x)\cdot \operatorname {Arcsin} '\;x=1

Donde :

\operatorname {Arcsin} 'x={\frac {1}{\cos(\operatorname {Arcsin} \;x)}}

Sabemos que, para todo ángulo θ, $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ donde $\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$

Finalmente:

\operatorname {Arcsin} 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}

, esta fórmula es válida en ]-1 ; 1[.

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