Proyecto de aprendizaje: Decaimiento radiactivo

Cadenas radiactivas

Es un caso común que el nucleido resultante de un decaimiento radiactivo sea a su vez radiactivo, por lo que para su estudio han de plantearse tantas ecuaciones diferenciales, acopladas entre sí, como nucleidos radiactivos.

Por ejemplo estudiemos el caso más sencillo de 2 núcleidos radiactivos en el que el primero tiene un único modo de desintegración en el que decae al segundo.

${\displaystyle {\frac {dN_{0}}{dt}}=-\lambda _{0}N_{0}}$

${\displaystyle {\frac {dN_{1}}{dt}}=\lambda _{0}N_{0}-\lambda _{1}N_{1}}$

La solución de la primera ecuación es ya conocida:

${\displaystyle N_{0}=N_{0}(0)e^{-\lambda _{0}t}}$

Para la segunda se ensaya una solución de la forma:

${\displaystyle N_{1}(t)=\alpha e^{-\lambda _{0}t}+\beta e^{-\lambda _{1}t}}$

con la que obtenemos:

${\displaystyle {\frac {dN_{1}}{dt}}=-\lambda _{0}\alpha e^{-\lambda _{0}t}-\lambda _{1}\beta e^{-\lambda _{1}t}=\lambda _{0}N_{0}(0)e^{-\lambda _{0}t}-\lambda _{1}\alpha e^{-\lambda _{0}t}-\lambda _{1}\beta e^{-\lambda _{1}t}}$

Los términos es ${\displaystyle \beta }$ y exponenciales se simplifican, resultando una ecuación para ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle -\lambda _{0}\alpha =\lambda _{0}N_{0}(0)-\lambda _{1}\alpha }$

que permite encontrar la siguiente solución para ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha ={\frac {\lambda _{0}N_{0}(0)}{\lambda _{1}-\lambda _{0}}}}$

${\displaystyle \beta }$ se determina considerando el valor de ${\displaystyle N_{1}(0)}$:

${\displaystyle N_{1}(0)=\alpha +\beta \Rightarrow \beta =N_{1}(0)-\alpha }$

y por tanto:

${\displaystyle N_{1}(t)=\alpha e^{-\lambda _{0}t}+N_{1}(0)e^{-\lambda _{1}t}-\alpha e^{-\lambda _{1}t}=\alpha (e^{-\lambda _{0}t}-e^{-\lambda _{1}t})+N_{1}(0)e^{-\lambda _{1}t}={\frac {\lambda _{0}N_{0}(0)}{\lambda _{1}-\lambda _{0}}}(e^{-\lambda _{0}t}-e^{-\lambda _{1}t})+N_{1}(0)e^{-\lambda _{1}t}}$