On dit que ${\displaystyle f}$ est :

• injective ou est une injection si deux éléments quelconques de E ayant même image par f sont nécessairement égaux, c'est-à-dire
  ${\displaystyle \forall x,x'\in E\quad f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'}$.
• surjective ou est une surjection si tout élément y de F possède au moins un antécédent par f, c'est-à-dire
  ${\displaystyle \forall y\in F\quad \exists x\in E\quad y=f(x)}$.
• bijective ou est une bijection si elle est à la fois injective et surjective.

Voir les exercices sur : Injection, surjection, bijection.

• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « ${\displaystyle f}$ est injective » :
  • deux éléments distincts quelconques de E ont des images distinctes, c'est-à-dire
    ${\displaystyle \forall x,x'\in E\quad \left(x\neq x'\Rightarrow f(x)\neq f(x')\right)}$.
    (contraposée de l'implication de la définition de l'injectivité) ;
  • tout élément y de F possède au plus un antécédent par f ;
  • pour tout élément y de F l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet au plus une solution dans E ;
  • ${\displaystyle \forall A,A'\in {\mathcal {P}}(E)\quad f(A\cap A')=f(A)\cap f(A')}$, où ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ désigne l'ensemble des parties de ${\displaystyle E}$ ;
  • ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(E)\quad A=f^{-1}(f(A))}$.
• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « ${\displaystyle f}$ est surjective » :
  • pour tout élément y de F l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet au moins une solution dans E ;
  • Im(f) = F ;
  • ${\displaystyle \forall B\in {\mathcal {P}}(F)\quad f(f^{-1}(B))=B}$.
• Chacune des propriétés suivantes équivaut à « ${\displaystyle f}$ est bijective » :
  • tout élément y de F possède un unique antécédent par f, c'est-à-dire
    ${\displaystyle \forall y\in F\quad \exists !x\in E\quad y=f(x)}$.
  • pour tout élément y de F, l'équation f(x) = y, d'inconnue x, admet une unique solution dans E ;
  • ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {P}}(E)\quad f\left(\complement _{E}A\right)=\complement _{F}f(A)}$, où ${\displaystyle \complement }$ désigne le complémentaire.

Voir les exercices sur : Injection, surjection, bijection.

• La composée de deux injections est injective.
• La composée de deux surjections est surjective.
• La composée de deux bijections est bijective.

Voir les exercices sur : Injection, surjection, bijection.

Soient E, F et G trois ensembles et ${\displaystyle f:E\to F}$ et ${\displaystyle g:F\to G}$ deux applications.

• Si ${\displaystyle g\circ f}$ est injective alors ${\displaystyle f}$ est injective.
• Si ${\displaystyle g\circ f}$ est surjective alors ${\displaystyle g}$ est surjective.

Supposons que ${\displaystyle f:E\to F}$ est bijective. Alors, l'application de F dans E, qui à tout élément de l’ensemble d'arrivée de f, associe son unique antécédent par f se note f ^-1 et s’appelle l'application réciproque de f.

L'application ${\displaystyle f:E\to F}$ est bijective si et seulement s'il existe une application ${\displaystyle g:F\to E}$ telle que

${\displaystyle g\circ f=\operatorname {Id} _{E}}$ et ${\displaystyle f\circ g=\operatorname {Id} _{F}}$,

autrement dit, telle que

${\displaystyle \forall x\in E\quad \forall y\in F\quad \left(x=g(y)\Leftrightarrow y=f(x)\right)}$.

De plus, dans ce cas, ${\displaystyle g=f^{-1}}$.

Pour toute bijection ${\displaystyle f:E\to F}$, l'application f ^-1 est bijective et ${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f}$ (l'application réciproque de f ^-1 est f).

Une application f d'un ensemble E dans lui-même est dite involutive si ${\displaystyle f\circ f=\operatorname {Id} _{E}}$.

• L'application identité d’un ensemble quelconque est involutive.
• La fonction inverse ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} ^{*}&\to &\mathbb {R} ^{*}\\x&\mapsto &{\frac {1}{x}}\end{matrix}}}$ est involutive.
• La conjugaison ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} \\z&\mapsto &{\overline {z}}\end{matrix}}}$ est involutive.
• Soit E un ensemble. L'application ${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {P}}(E)&\to &{\mathcal {P}}(E)\\X&\mapsto &\complement _{E}X\end{matrix}}}$ est une involution de ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$.
• L'application ${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbb {R} ^{2}&\to &\mathbb {R} ^{2}\\(x,y)&\mapsto &(y,x)\end{matrix}}}$ est une involution de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Plus généralement, les symétries vectorielles sont des involutions.