Espace euclidien/Produit scalaire

Nous allons commencer par introduire quelques notions qui généralisent la notion de produit scalaire dans le plan ou dans l'espace vue aux niveaux 11 et 12.

Produit scalaire

Une application $\langle \cdot |\cdot \rangle$ définie sur $E\times E$ est appelée un produit scalaire sur $E$ si c’est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E :

forme : $\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle \in \mathbb {R}$ ;
symétrique : $\forall x,y\in E\quad \langle x|y\rangle =\langle y|x\rangle$ ;
bilinéaire : linéaire par rapport à ses deux variables, ce qui équivaut, compte tenu de la symétrie, à la linéarité par rapport à la seconde variable
$\forall \lambda \in \mathbb {R} \quad \forall x,y,z\in E\quad \langle x|\lambda y+z\rangle =\langle x|z\rangle +\lambda \langle x|y\rangle$ ;
définie positive : $\forall x\in E\quad x\neq 0\Rightarrow \langle x|x\rangle >0$ .

Espace euclidien

On appelle espace euclidien un $\mathbb {R}$ -espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Remarque de niveau 15 : En d'autres termes, un espace préhilbertien réel E est dit euclidien lorsqu’il est de dimension finie.

Norme euclidienne

On appelle norme induite par le produit scalaire $\langle \cdot |\cdot \rangle$ l’application $x\mapsto \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ .

Plus généralement, on dit qu’une norme est euclidienne si elle est induite par un produit scalaire.

Remarque de niveau 15 : En dimension finie, la norme préhilbertienne devient la norme euclidienne.

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Dans un espace euclidien, on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

\forall (x,y)\in E^{2},~|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\,\|y\|

.

On a égalité (si et) seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

Démonstration

La parenthèse « (si et) » est facile à vérifier, et dans le cas $x=0$ , l'énoncé tout entier est immédiat.

Supposons maintenant $x\neq 0$ donc $\|x\|\neq 0$ et posons

{\displaystyle \lambda

).

En développant (par définition de la norme et par bilinéarité et symétrie du produit scalaire), on obtient :

{\begin{aligned}\mu &=\lambda ^{2}\|x\|^{2}-2\lambda \langle x|y\rangle +\|y\|^{2}\\&={\frac {{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}-2{\frac {{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}+\|y\|^{2}\\&={\frac {\|x\|^{2}\|y\|^{2}-{\langle x,y\rangle }^{2}}{\|x\|^{2}}}.\end{aligned}}

Puisque $\mu \geq 0$ , on a donc $\|x\|^{2}\|y\|^{2}\geq {\langle x,y\rangle }^{2}$ , ou encore : $\|x\|\,\|y\|\geq |\langle x,y\rangle |$ .

Enfin,

\|x\|\,\|y\|=|\langle x,y\rangle |\Rightarrow \mu =0\Rightarrow \|\lambda x-y\|=0\Rightarrow y=\lambda x

.

Exemple : produit scalaire et norme dans Rⁿ

$E=\mathbb {R} ^{n}$ muni du produit scalaire usuel $\forall (x,y)\in E^{2},~\langle x|y\rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}$ .

La norme associée est la norme euclidienne : $\forall x\in E\quad \|x\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit : $\forall (x,y)\in E^{2},~\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)$

Remarque de niveau 15 : l'inégalité de Cauchy-Schwarz est en fait valide (avec la même démonstration) dans tout espace préhibertien, de dimension non nécessairement finie.

Orthogonalité

Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si $\langle x|y\rangle =0$ .

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