La fonction carré associe à tout réel ${\displaystyle x}$ son carré ${\displaystyle x^{2}}$.

On note :

${\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}$ ou ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

• La fonction carré est définie sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

La fonction carré est strictement décroissante sur ${\displaystyle ]-\infty ;0]}$

et strictement croissante sur ${\displaystyle [0;+\infty [}$.

Son minimum est 0, il est atteint pour ${\displaystyle x=0}$.

Pour le premier point, soient ${\displaystyle x_{1}<x_{2}\leq 0}$. On a donc :

• ${\displaystyle x_{1}-x_{2}<0}$
• ${\displaystyle x_{1}+x_{2}<0}$
• Soit ${\displaystyle (x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})>0}$

Ce qui nous permet de voir que ${\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}>0}$ et donc que ${\displaystyle x_{1}^{2}>x_{2}^{2}}$. La fonction carré est donc bien strictement décroissante sur ${\displaystyle ]-\infty ;0]}$

Pour le deuxième point, le raisonnement est identique.

Pour le troisième point, pour tout réel ${\displaystyle x}$, on a d’après la règle des signes ${\displaystyle x^{2}\geqslant 0}$ et que pour ${\displaystyle x=0}$ on a ${\displaystyle x^{2}=0}$. La fonction carré admet bien 0 comme minimum et il est atteint pour ${\displaystyle x=0}$. De plus, si ${\displaystyle x\neq 0}$ alors ${\displaystyle x^{2}\neq 0}$. Le minimum est donc 0 et est atteint pour ${\displaystyle x=0}$.

• La représentation graphique de la fonction carré est une courbe appelée parabole.
• Son sommet est le point ${\displaystyle O(0;0)}$.
• Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Elle est entièrement située au-dessus de l'axe des abscisses.