Fonction logarithme/Logarithme de base quelconque

Insuffisance de ln

On a vu que le logarithme népérien, aussi appelé logarithme naturel, présente la propriété suivante.

Propriété du logarithme naturel

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\ln(e^{x})=x$
$\ln(e)=1$

Or, on rencontre souvent dans la nature des expressions semblables, mais n'utilisant pas la fonction exponentielle sous sa forme e^x.

Par exemple, en chimie, le pH est relié à la concentration en ions oxonium H₃O⁺ par la relation [H₃O⁺] = 10^-pH. Comment exprimer alors le pH en fonction de [H₃O⁺] ?

Base d'un logarithme

Définition

Soit $a\in \left]1,+\infty \right[$ . On appelle logarithme de base a et on note log_a la fonction définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}$ par : $\log _{a}:x\mapsto {\frac {\ln x}{\ln a}}$

Propriété du logarithme de base a

Cette section nécessite des connaissances sur l'exponentielle de base a. Vous pouvez consulter les cours de la Wikiversité à ce sujet.

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~\log _{a}(a^{x})=x$
$\log _{a}(a)=1$

Exemple

Le logarithme naturel est le logarithme de base e.
pH = - log₁₀([H₃O⁺]).

Logarithme décimal

Définition

On appelle logarithme décimal le logarithme en base 10.

Il est souvent écrit log (au lieu de log₁₀).

Cet article est issu de Wikiversity. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.