Fonctions circulaires/Fonction cosinus

Fonction cosinus

Définition

Soit $\alpha$ un nombre réel.
Son cosinus est le cosinus de l'unique angle dont $\alpha$ est une mesure. Il est noté $\cos(\alpha )$ . Il est égal à la distance entre le centre du cercle trigonométrique et la projection du point de la circonférence correspondant à l'angle $\alpha$ et orthogonale au diamètre horizontal.
La fonction qui à tout nombre réel $\alpha$ associe son cosinus est appelée fonction cosinus, et est notée cos.

On a représenté ci-dessous la courbe de la fonction cosinus sur $\left[-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}\right]$ .

Cette courbe est une sinusoïde.

Définition

Une fonction périodique de période $P$ est telle que :

Pour tout $x$ :

f(x+P)=f(x)

Interprétation graphique : La courbe d'une fonction périodique de période $P$ est invariante par translation de vecteur $(P,0)$ .

Propriété

La fonction cosinus est périodique de période $2\pi$ , c'est-à-dire :

Pour tout réel x ,

\cos(x+2\pi )=\cos(x)

Propriété

La fonction cosinus est paire, c'est-à-dire :

\cos(-x)=\cos x

.

Sa courbe est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

α	$\scriptstyle 0$	$\textstyle {\frac {\pi }{6}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {\pi }{2}}$	$\textstyle {\frac {2\pi }{3}}$	$\textstyle {\frac {3\pi }{4}}$	$\textstyle {\frac {5\pi }{6}}$	$\scriptstyle \pi$
cos α	$\scriptstyle 1$	$\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle 0$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {1}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$\scriptstyle -\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$\scriptstyle -1$

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