Soient ƒ et g deux fonctions de courbes représentatives respectives ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ dans un repère donné.

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ est une courbe asymptote à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ en +∞ si :

1. ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f(x)-g(x)=0}$
2. L'expression de g est beaucoup plus « simple » que celle de ƒ.

Si la fonction dont on cherche une asymptote est une fraction rationnelle, alors la division euclidienne du numérateur par le dénominateur donnera l'équation de l'asymptote.

Soit ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {5x^{5}+15x^{3}+68x^{2}+29x-19}{5(x^{2}-2x+7)}}}$

La division euclidienne du polynôme ${\displaystyle 5X^{5}+15X^{3}+68X^{2}+29X-19}$ par le polynôme ${\displaystyle 5(X^{2}-2X+7)}$ donne un quotient de ${\displaystyle X^{3}+2X^{2}-{\frac {2}{5}}}$ et un reste de ${\displaystyle 5(5X-1)}$

On a donc pour tout ${\displaystyle x,~f(x)={\frac {5\left(x^{3}+2x^{2}-{\frac {2}{5}}\right)(x^{2}-2x+7)+5(5x-1)}{5(x^{2}-2x+7)}}=x^{3}+2x^{2}-{\frac {2}{5}}+{\frac {5x-1}{x^{2}-2x+7}}}$

Pour essayer de trouver une courbe asymptote, on peut faire des développements limités en l'infini.

On montre que la fonction ${\displaystyle f:x\mapsto {\frac {\ln \left(1+{\frac {1}{x}}\right)}{\sin \left({\frac {1}{x^{3}}}\right)}}}$ admet pour asymptote la parabole d'équation ${\displaystyle y=x^{2}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{3}}}$

En effet, ${\displaystyle f(x)=x^{2}-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4x}}+{\underset {x\to +\infty }{o}}\left({\frac {1}{x}}\right)}$