Une démonstration de la règle de multiplication

On travaille ici sur un exemple mais on peut remplacer 3, 5, 2, 7 par a, b, c, d.

Dans une suite de multiplications et de divisions, cela fonctionne comme une suite d’additions et de soustractions : on peut faire les opérations dans l’ordre que l’on veut à condition de laisser chaque nombre avec l’opération qui est juste devant lui.

Il faut savoir aussi que ${\displaystyle \div \div }$ donne × et que ${\displaystyle \times \div }$ donne ${\displaystyle \div }$ (Une sorte de règle des signes).

${\displaystyle {\frac {3}{5}}\times {\frac {2}{7}}=(3\div 5)\times (2\div 7)=3\times 2\div 5\times 7=(3\times 2)\div (5\times 7)={\frac {3\times 2}{5\times 7}}}$

Que penser de la règle : diviser deux fractions revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ?

Cette règle est juste : on la démontre en changeant l’ordre dans les opérations. Par exemple :

${\displaystyle {\frac {3}{5}}\div {\frac {2}{7}}=(3\div 5)\div (2\div 7)=3\div 5\div 2\times 7=(3\div 2)\div 5\times 7=(3\div 2)\div (5\div 7)={\frac {3\div 2}{5\div 7}}}$

On déconseille aux élèves d’utiliser cette technique qui a l’inconvénient de mélanger les signes ${\displaystyle \div }$ et les barres de fraction. On conseille la technique : diviser revient à multiplier par l’inverse.