Intégration en mathématiques/Primitives

Primitive d'une fonction sur un intervalle

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).

Exemple

Soit la fonction $f$ définie sur ℝ par $f(x)=2x$ . La fonction $F$ définie sur ℝ par $F(x)=x^{2}$ est une primitive de $f$ sur ℝ. La fonction $G$ définie sur ℝ par $G(x)=x^{2}+1$ est une autre primitive de $f$ sur ℝ.

Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle

f est une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme : F(x) + k (k étant un réel).

Primitive prenant une valeur donnée en un point

Proposition

Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur un intervalle $I$ .

Pour tout $a\in I$ et tout $b\in \mathbb {R}$ , il existe (sur $I$ ) une primitive $F$ de $f$ et une seule telle que $F(a)=b$ .

Exemple

On définit la fonction $f$ sur ℝ par $f(x)=2x$ . Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=4$ .

Solution

Les primitives de $f$ sur ℝ sont les fonctions $G_{k}$ définies sur ℝ par $G_{k}(x)=x^{2}+k$ ( $k$ est un réel).

$G_{k}(0)=4\Leftrightarrow 0^{2}+k=4\Leftrightarrow k=4$ .

La primitive $F$ de $f$ telle que $F(0)=4$ est donc $F=G_{4}$ , c'est-à-dire la fonction $F$ définie sur ℝ par $F(x)=x^{2}+4$ .

Calculs de primitives

$f(x)$	l'une des primitives de la fonction $f$ est...	sur l'intervalle...
$c$ ( $c\in \mathbb {R}$ )	$cx$	ℝ
$x^{n}$ ( $n\in \mathbb {N}$ )	${\frac {x^{n+1}}{n+1}}$	ℝ
${\frac {1}{x^{n}}}$ ( $n$ nombre entier avec $n\geq 2$ )	${\frac {-1}{(n-1)x^{n-1}}}$	]-∞, 0[ ou ]0, +∞[
${\frac {1}{\sqrt {x}}}$	$2{\sqrt {x}}$	]0, +∞[
${\frac {1}{x}}$	$\ln x$	]0, +∞[
$\mathrm {e} ^{x}$	$\mathrm {e} ^{x}$	ℝ
$\sin x$	$-\cos x$	ℝ
$\cos x$	$\sin x$	ℝ

Exemple

Soit $f$ définie sur ℝ par $f(x)=2x^{3}-5x^{2}+3x-4$ .

Les primitives de $f$ sur ℝ sont les fonctions $F$ de la forme

{\begin{aligned}F(x)&=2{\frac {x^{4}}{4}}-5{\frac {x^{3}}{3}}+3{\frac {x^{2}}{2}}-4x+k\\&={\frac {x^{4}}{2}}-{\frac {5x^{3}}{3}}+{\frac {3x^{2}}{2}}-4x+k,\end{aligned}}

où $k$ est une constante appartenant à ℝ.

Primitives et opérations sur les fonctions:

Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.

Primitives des fonctions composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur I.

f(x)=...	F(x)=...	Condition :
$u'u^{n}$ (n ∈ ℕ*)	${\frac {u^{n+1}}{n+1}}+k$
${\frac {u'}{u^{n}}}$ (n entier ≥ 2)	$-{\frac {1}{(n-1)u^{n-1}}}+k$	$u(x)\neq 0$ sur $I$
${\frac {u'}{\sqrt {u}}}$	$2{\sqrt {u}}+k$	$u(x)>0$ sur $I$
${\frac {u'}{u}}$	$\ln(u)+k$	$u(x)>0$ sur $I$
$u'\mathrm {e} ^{u}$	$\mathrm {e} ^{u}+k$

Exemples

Exemple

Soit $f(x)={\frac {2x}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

$f(x)={\frac {u'}{\sqrt {u}}}$

Avec ici : $u(x)=x^{2}-1$ et $u'(x)=2x$ .

Donc l'une des primitives de $f$ sur ]-∞, –1[ ou ]1, +∞[ est

F=2{\sqrt {u}}

,

soit : $F(x)=2{\sqrt {x^{2}-1}}$ .

Exemple

Soit $f(x)=6x^{2}(x^{3}+5)^{4}$ .

$f(x)=2u'u^{n}$

Avec ici : $u(x)=x^{3}+5$ et $u'(x)=3x^{2}$ .

Donc l'une des primitives de $f$ sur ℝ est

F=2{\frac {u^{n+1}}{n+1}}

,

soit : $F(x)={\frac {2(x^{3}+5)^{5}}{5}}$ .

Méthode pour les fonctions composées

On commence par identifier la formule à utiliser.
Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.

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