Matrice/Addition et soustraction

Tout comme on peut additionner des nombres ou des vecteurs, il est possible d'effectuer l'addition de deux matrices. Il s'agit d'une opération élémentaire et assez intuitive.

Somme de deux matrices

Définition

Soient $A$ et $B$ deux matrices de même taille à coefficients dans K. Alors il est possible de les additionner. Leur somme est une matrice $A+B$ à coefficients dans K, de même taille que $A$ et $B$ :

\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}+\left(b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}:=\left(a_{i,j}+b_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}

.

Plus explicitement : si

A={\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots &a_{m,n}\end{pmatrix}}

et

B={\begin{pmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}&\cdots &b_{1,n}\\b_{2,1}&b_{2,2}&\cdots &b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m,1}&b_{m,2}&\cdots &b_{m,n}\end{pmatrix}}

alors

A+B={\begin{pmatrix}a_{1,1}+b_{1,1}&a_{1,2}+b_{1,2}&\cdots &a_{1,n}+b_{1,n}\\a_{2,1}+b_{2,1}&a_{2,2}+b_{2,2}&\cdots &a_{2,n}+b_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m,1}+b_{m,1}&a_{m,2}+b_{m,2}&\cdots &a_{m,n}+b_{m,n}\end{pmatrix}}

.

Exemple

{\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{pmatrix}}

.

La matrice nulle

Définition

La matrice nulle de $\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)$ , notée 0 ou $\mathbf {0} _{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}$ , est :

\mathbf {0} _{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}:={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}

où 0 est l'élément neutre pour l'addition dans l'anneau K — si $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$ , c’est simplement le zéro habituel.

Matrice opposée

Définition

La matrice opposée de $A=\left(a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}$ est $-A:=\left(-a_{i,j}\right)_{(i,j)\in \left[\![1,m]\!\right]\times \left[\![1,n]\!\right]}$ .

Structure de groupe

Les propriétés des trois notions ci-dessus sont résumées dans la proposition suivante :

Propriété

$\left(\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right),+\right)$ est un groupe abélien.

L'élément neutre est la matrice nulle, et l'élément symétrique d'une matrice $A$ est sa matrice opposée, $-A$ .

Cela signifie que :

l'addition entre matrices de même taille est associative : $\forall A,B,C\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad (A+B)+C=A+(B+C)$ ;
elle est commutative $\forall A,B\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad A+B=B+A$ ;
$\forall A\in \mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)\quad A+\mathbf {0} _{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}=A$ et $A+(-A)=0_{\mathrm {M} _{m,n}\left(K\right)}$ .

Ces propriétés découlent directement du fait que $\left(K,+\right)$ est un groupe abélien.

Différence de deux matrices

Définition

On peut soustraire deux matrices $A$ et $B$ lorsqu'elles sont de même taille :

A-B:=A+(-B)

.

Exemple

{\begin{pmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-0&3-0\\1-7&0-5\\1-2&2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3\\-6&-5\\-1&1\end{pmatrix}}

.

Remarques

Il existe une autre « somme » envisageable pour les matrices, appelée « somme directe ». Elle a un sens dans la théorie des espaces vectoriels, et nous ne l'aborderons pas ici.
Si les matrices considérées n'ont qu'une seule ligne et une seule colonne (ce sont des nombres), on retrouve ce que l’on sait des nombres concernant leur addition, leur soustraction et le zéro.
Si les matrices considérées n'ont qu'une colonne (ce sont des vecteurs), on retrouve ce que l’on sait des vecteurs concernant l'addition, la soustraction et le vecteur nul.

Les matrices peuvent donc être vues comme une « généralisation » des vecteurs.

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