Règle 1

Prérequis : pour k entier relatif, ${\displaystyle a^{k+1}=a^{k}\times a}$

• Si k > 0, ${\displaystyle a^{k+1}=a^{k}\times a}$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
• Si k = 0, ${\displaystyle a^{k+1}=a^{1}=a}$ et ${\displaystyle a^{k}\times a=a^{0}\times a=1\times a=a}$ d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
• Si k = -1, ${\displaystyle a^{k+1}=a^{0}=1}$ et ${\displaystyle a^{k}\times a=a^{-1}\times a={\frac {1}{a}}\times a=1}$
• Si k < -1, ${\displaystyle a^{k+1}=a^{k}\times a}$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition ${\displaystyle P_{n}:a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}}$

• Pour n = 0, on a d’un côté

${\displaystyle a^{m}\times {a}^{n}=a^{m}\times {1}=a^{m}}$ et de l'autre

${\displaystyle a^{m+n}=a^{m+0}=a^{m}}$

La propriété P_n est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

• Supposons que P_n soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si P_n+1 est vraie.

En partant d’un côté :

${\displaystyle a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})}$ d’après la définition d’un puissance entière, puis

${\displaystyle a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})=(a^{m}\times {a}^{n})\times {a}}$ par associativité de la multiplication,

${\displaystyle (a^{m}\times {a}^{n})\times {a}=a^{m+n}\times {a}}$ car on suppose que P_n est vraie

${\displaystyle a^{m+n}\times {a}=a^{m+n+1}}$ d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que ${\displaystyle a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m+n+1}}$

C'est-à-dire que P_n+1 est vraie lorsque P_n est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication ${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P_{n+1}}$.

• Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, P_n est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que ${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P_{n-1}}$, on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictement positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

${\displaystyle a^{m}\times {a}^{n}=0\times 0}$ et

${\displaystyle a^{m+n}=0}$

Dans ce cas là (exposants strictement positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.