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La transformée de Laplace, du nom de son inventeur, est d'une précieuse aide technique à la résolution exacte des équations différentielles linéaires non homogènes qui résultent de la modélisation des systèmes physiques impliquant des fonctions périodiques non continues.
C'est principalement dans cette perspective que ce cours s'oriente :
La technique générale de résolution d'une équation différentielle à l'aide de la transformée de Laplace s'effectue en calculant la transformée de chacun des membres de l'équation, puis la résolution de l'équation algébrique résultante, et enfin en résolvant le problème inverse.
Ce cours se veut intuitif. Il n’est pas aussi rigoureux qu'un cours théorique de mathématique sur le même sujet et l'accent sera mis sur le calcul pratique et l’application à la résolution de problèmes concrets.
Il est parsemé de questions et exercices afin d'engager et de stimuler le lecteur attentif. Enfin, une série de TD complète chaque chapitre du cours pour approfondir et assimiler les concepts présentés.
Notez que nous envisageons dans ce cours la transformée de Laplace au sens des fonctions. Nous ne développons pas la transformée de Laplace au sens des distributions qui requiert la théorie dite des distributions.
Objectifs
Les objectifs de cette leçon sont :
- définir la transformée de Laplace,
- établir ses relations avec les dérivées et les intégrales,
- étudier le cas des fonctions périodiques,
- résoudre le problème de la transformée de Laplace inverse,
- étudier un théorème de convolution,
- appliquer la transformée de Laplace à la résolution d'équations différentielles.
Niveau et prérequis conseillés
Leçon de niveau 15. Les prérequis conseillés sont :
- le calcul algébrique, notamment les fractions rationnelles.
- le calcul différentiel et intégral d'une fonction de la variable réelle, notamment la notion de convergence.
- les équations différentielles ordinaires.
Voir aussi :
- Transformée de Laplace dans de département mathématiques
- Transformée de Laplace dans wikipédia
Référents
Ces contributeurs sont prêts à vous aider concernant cette leçon :
- Frenchem67