Dans cette page, si rien n'est précisé, on considère un triangle ${\displaystyle ABC}$ et on pose :

${\displaystyle a=BC\qquad b=AC\qquad c=AB}$

Les mesures des angles du triangle seront notée ${\displaystyle A,\,B,\,C}$

Exercice 13-1

Montrez que, dans un triangle, on a :

${\displaystyle a=b\cos C+c\cos B}$

Exercice 13-2

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  ${\displaystyle \sin A+\sin B+\sin C=4\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}}$

2°  ${\displaystyle \cos A+\cos B+\cos C=1+4\sin {\frac {A}{2}}\sin {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}$

3°  ${\displaystyle \tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C}$

4°  ${\displaystyle \sin A-\sin B+\sin C=4\sin {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\sin {\frac {C}{2}}}$

Exercice 13-3

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  ${\displaystyle \sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=4\sin A\sin B\sin C}$

2°  ${\displaystyle \cos 2A+\cos 2B+\cos 2C+4\cos A\cos B\cos C+1=0}$

3°  ${\displaystyle \cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C=1-2\cos A\cos B\cos C}$

4°  ${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C=2+2\cos A\cos B\cos C}$

Exercice 13-4

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  ${\displaystyle {\frac {1}{\tan A\tan B}}+{\frac {1}{\tan B\tan C}}+{\frac {1}{\tan C\tan A}}=1}$

2°  ${\displaystyle {\frac {\cos A}{\sin B\sin C}}+{\frac {\cos B}{\sin C\sin A}}+{\frac {\cos C}{\sin A\sin B}}=2}$

3°  ${\displaystyle \sin 4A+\sin 4B+\sin 4C=-4\sin 2A\sin 2B\sin 2C}$

4°  ${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}\tan {\frac {B}{2}}+\tan {\frac {B}{2}}\tan {\frac {C}{2}}+\tan {\frac {C}{2}}\tan {\frac {A}{2}}=1}$

Exercice 13-5

Soit un triangle dont la mesure des angles est respectivement A, B, C.

Démontrer que l'on a alors les relations suivantes :

1°  ${\displaystyle \sin ^{3}A\sin(B-C)+\sin ^{3}B\sin(C-A)+\sin ^{3}C\sin(A-B)=0}$

2°  ${\displaystyle 2\cos A\cos B\cos C={\frac {\sin 2A}{\tan B+\tan C}}={\frac {\sin 2B}{\tan C+\tan A}}={\frac {\sin 2C}{\tan A+\tan B}}}$

4°  ${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin B\sin C}}=\cot B+\cot C}$

5°  ${\displaystyle \sin C={\frac {\sin ^{2}A-\sin ^{2}B}{\sin(A-B)}}}$

Exercice 13-6

Transformer en produit les expressions suivantes :

1°  ${\displaystyle 1+\cos A+\cos B+\cos C}$

2°  ${\displaystyle \sin ^{2}A+\sin ^{2}B-\sin ^{2}C}$

Exercice 13-7

Dans un triangle, simplifier les expressions :

1°  ${\displaystyle 1+\cos A+\cos B-\cos C}$

2°  ${\displaystyle {\frac {\sin A+\sin B-\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}}}$

Exercice 13-8

Démontrer que, dans un triangle quelconque, on a :

${\displaystyle a\sin(B-C)+b\sin(C-A)+c\sin(A-B)=0}$

Exercice 13-9

En appelant ${\displaystyle S}$ l'aire du triangle ${\displaystyle ABC}$ et ${\displaystyle R}$ le rayon du cercle circonscrit, démontrer que l’on a :

${\displaystyle a\cos A+b\cos B+c\cos C={\frac {2S}{R}}}$

${\displaystyle a\sin A+b\sin B+c\sin C={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}}}$

Exercice 13-9

Les relations :

${\displaystyle {\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=a\cos C+c\cos A\\{\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}\end{cases}}}$

sont-elles distinctes ?

Exercice 13-10

On considère le système de trois relations suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}a=b\cos C+c\cos B\\b=a\cos C+c\cos A\\c=a\cos B+b\cos A\end{cases}}}$

1°  Montrer que les trois relations sont distinctes.

2°  En supposant ${\displaystyle a,\,b,\,c}$ positif, et ${\displaystyle A,\,B,\,C}$ compris entre 0 et ${\displaystyle \pi }$, montrer que si ces six nombres vérifient le système, ils sont les éléments d'un triangle.