Trigonométrie/Sinus dans un triangle rectangle

sinus et calculatrice

Calcul d’un sinus à la calculatrice

Connaissant un angle, on peut calculer son sinus avec une calculatrice scientifique.

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, on tape pour calculer :

\sin {45^{\circ }}

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4
sin	4	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape la séquence de touches

Touche 1	Touche 2	Touche 3
4	5	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est :

\sin {45}\approx 0{,}707

.

Si vous obtenez 0,850 ou 0,649, votre calculatrice n’est pas en mode « degrés » et il faut l'y mettre !

Calcul d’un angle à partir de son sinus

Sur une calculatrice de type « collège » habituelle, on tape pour calculer :

\sin {(?)}=0{,}5

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
2nd ou shift	sin	0	$\cdot$	5	EXE

Sur une calculatrice à calcul immédiat, on tape pour calculer :

\sin {(?)}=0{,}5

la séquence de touches :

Touche 1	Touche 2	Touche 3	Touche 4	Touche 5
0	$\cdot$	5	2nd ou shift	sin

Il est important que votre calculatrice soit en mode « degrés », ce qui est signalé sur l'écran par un « D » ou « Deg ». Dans ce cas, le résultat du calcul est :

\sin ^{-1}(0{,}5)=30^{\circ }

.

Formule du sinus

Dans un triangle ABC rectangle en B, le sinus de l'angle ${\hat {A}}$ vaut :

\sin {\hat {A}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}}

.

Exemple 1 : Calcul d’un angle à partir du côté opposé et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : BC = 4 cm et AC = 7 cm, calculer ${\hat {A}}$ .

Solution

On a la formule :

\sin {\hat {A}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {4}{7}}\approx 0{,}571

et :

{\hat {A}}=\sin ^{-1}(0{,}571)\approx 35^{\circ }

.

Remarques :

Pour avoir une précision au degré près pour l'angle, il est conseillé de garder au moins trois décimales pour le sinus.
La notation $\sin ^{-1}$ est mauvaise mais nous la gardons car elle apparaît sur les calculatrices du collège. Elle prête à confusion avec l'inverse : ${\frac {1}{\sin }}$ . Il ne s'agit pas du tout de la même chose. En mathématiques on utilise plutôt la notation $\arcsin$ .

Exemple 2 : Calcul du côté opposé à partir de l'angle et de l'hypoténuse

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a en plus : Â = 40° et AC = 7 cm, calculer $BC$ .

Solution

On a la formule :

\sin {40}=\sin {\hat {A}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {BC}{7}}

donc :

BC=7\times \sin {40}\approx 4{,}5\ \mathrm {cm}

.

Exemple 3 : Calcul de l'hypoténuse à partir de l'angle et du côté opposé

Si dans le triangle ABC ci-dessus, on a : Â = 40° et BC = 4 cm, calculer $AC$ .

Solution

On a la formule :

\sin {40}=\sin {\hat {A}}={\frac {BC}{AC}}={\frac {4}{AC}}

donc :

AC\times \sin {40}=4\ \mathrm {cm}

donc :

AC={\frac {4}{\sin {40}}}\approx 6{,}2\ \mathrm {cm}

.

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