Par projeté orthogonal d’un point du cercle trigonométrique sur l’axe des abscisses ou des ordonnées, nous obtenons un angle droit et, du même coup, un triangle rectangle. Nous allons alors pouvoir redéfinir les formules de fonctions trigonométriques dans un triangle rectangle, déjà vues au collège, en particulier pour les fonctions ${\displaystyle \sin }$, ${\displaystyle \cos }$ et ${\displaystyle \tan }$.

Sinus et cosinus dans un triangle rectangle

Dans le cercle trigonométrique, nous avions projeté ${\displaystyle M}$ sur les deux axes du repère pour obtenir les sinus et cosinus d’un angle. Ceci nous a donné un triangle rectangle dont l'hypoténuse est le segment ${\displaystyle [OM]}$, un rayon de longueur 1. Afin de rester en longueurs positives, restreignons le repère aux demi-axes ${\displaystyle Ox}$ et ${\displaystyle Oy}$ ainsi que le cercle trigonométrique à l'intervalle ${\displaystyle [\scriptstyle 0;\textstyle {\frac {\pi }{2}}[}$.

Construction d’un triangle rectangle quelconque.

Nous pouvons clairement construire tous les triangles rectangles ayant une hypoténuse de longueur 1. Mais par un point quelconque ${\displaystyle M'}$ de la droite ${\displaystyle OM}$, on peut aussi construire tous les triangles rectangles possibles, ici nommés ${\displaystyle OM'S'_{2}}$, en posant ${\displaystyle S'_{2}}$ le projeté orthogonal de ${\displaystyle M'}$ sur ${\displaystyle Ox}$. Pour tous ces triangles, le théorème de Thalès nous permet d'écrire

${\displaystyle {\frac {OS_{2}}{OS'_{2}}}={\frac {OM}{OM'}}={\frac {MS_{2}}{M'S'_{2}}}}$ soit ${\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{OS'_{2}}}={\frac {1}{OM'}}={\frac {\sin \alpha }{M'S'_{2}}}}$

et donc

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {OS'_{2}}{OM'}}}$ et ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {M'S'_{2}}{OM'}}.}$

Définitions

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté opposé et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

${\displaystyle \sin {\hat {A}}={\frac {\left[BC\right]}{\left[AC\right]}}={\frac {o}{h}}}$

Définitions

Le cosinus d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté adjacent et celle de l'hypoténuse.

Dans notre exemple ci contre, cela donne :

${\displaystyle \cos {\hat {A}}={\frac {\left[AB\right]}{\left[AC\right]}}={\frac {a}{h}}}$

Remarque :

Il n'y a pas d'angle obtus dans un triangle rectangle : on ne peut pas définir le cosinus d’un angle obtus grâce aux côtés d’un triangle rectangle. Il en sera de même pour la fonction tangente.

Tangente dans un triangle rectangle

Si ${\displaystyle OS_{2}=1}$, nous reconnaissons immédiatement ${\displaystyle \scriptstyle \tan \alpha }$ dans la longueur du segment ${\displaystyle [MS_{2}]}$. Alors pour tout triangle rectangle construit à partir d’un angle ${\displaystyle \scriptstyle \alpha \in \textstyle [\scriptstyle 0;\textstyle {\frac {\pi }{2}}[}$, le théorème de Thalès nous donne :

${\displaystyle {\frac {OS_{2}}{OS'_{2}}}={\frac {MS_{2}}{M'S'_{2}}}}$ soit ${\displaystyle {\frac {1}{OS'_{2}}}={\frac {\tan \alpha }{M'S'_{2}}}}$

d'où

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {M'S'_{2}}{OS'_{2}}}.}$

Définition

Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le rapport entre la longueur de son côté opposé et celle de son côté adjacent.

Ce qui dans l'exemple ci contre donne :

${\displaystyle \tan {\hat {A}}={\frac {\left[BC\right]}{\left[AB\right]}}={\frac {o}{a}}}$