e (constante matemática)

O constante matemática e é o único número real de tal modo que o valor da derivada (declive da tangente de linha) da função f (x) = e ^x no ponto x = 0 é exactamente 1. a função de e ^x é chamado de modo definidos a função exponencial , e o seu inverso é o logaritmo natural , ou logaritmo e base. O número de e também é geralmente definida como a base do logaritmo natural (usando um integrante para definir o último), como o limite de uma certa sequência , ou como a soma de um certo série (ver representações de e , a seguir).

O número de e é um dos números mais importantes da matemática, juntamente com o aditivo e identidades multiplicativos 0 e 1 , a constante π , e a unidade imaginária i.

O número de e às vezes é chamado número de Euler após a Swiss matemático Leonhard Euler , ou a constante de Napier em homenagem ao escocês matemático John Napier, que introduziu logaritmos . (E não deve ser confundido com γ - o Euler-Mascheroni constante, às vezes chamado simplesmente de Euler constante.)

Desde e é transcendental, e, portanto, irracional , seu valor não pode ser dado exatamente como um decimal finito ou eventualmente repetir. O valor numérico e truncado para 20 casas decimais é:

2,71828 18284 59045 23536 ...

História

As primeiras referências à constante foram publicados em 1618 no quadro de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos por John Napier. No entanto, este não contêm o próprio constante, mas simplesmente uma lista dos logaritmos naturais calculados a partir da constante. Supõe-se que a tabela foi escrita por William Oughtred. A "descoberta" do próprio constante é creditada a Jacob Bernoulli, que tentaram encontrar o valor da seguinte expressão (que é, de facto e):

O primeiro uso conhecido da constante, representado pela letra b, estava em correspondência de Gottfried Leibniz para Christiaan Huygens em 1690 e 1691. Leonhard Euler passou a utilizar a letra e para a constante em 1727, eo primeiro uso de e em uma publicação foi Mechanica de Euler (1736). Enquanto nos anos seguintes alguns pesquisadores usaram a letra c, e foi mais comum e, eventualmente, tornou-se o padrão.

As razões exactas para o uso da carta e não são conhecidos, mas pode ser porque é a primeira letra da palavra exponencial. Outra possibilidade é que Euler utilizado porque foi a primeira vogal depois de um, que ele já estava usando para outro número, mas a sua razão para usar vogais é desconhecida. É pouco provável que Euler escolheu a letra, porque é a primeira letra de seu sobrenome, desde que ele era um homem muito modesto e tentou dar o crédito apropriado para o trabalho dos outros.

Aplicações

O problema-juros compostos

Jacob Bernoulli descobriu essa constante estudando uma pergunta sobre juros compostos.

Um exemplo simples é uma conta que começa com US $ 1,00 e paga juros de 100% ao ano. Se o interesse é creditado uma vez, no final do ano, o valor é de R $ 2,00; mas se os juros são computados e adicionados duas vezes no ano, US $ 1 é multiplicado por 1,5, duas vezes, rendendo $ 1,00 × 1.5² = US $ 2,25. Para agravar trimestral rende $ 1,00 × 1,25 ⁴ = $ 2,4414 ..., e compondo os rendimentos mensais $ 1,00 × (1,0833 ...) ¹² = 2,613035 dólares ....

Bernoulli notado que esta seqüência se aproxima de um limite para intervalos mais e menores de capitalização. Para agravar rendimentos semana $ 2.692597 ..., enquanto compondo diariamente rende $ 2.714567 ..., apenas dois centavos a mais. Usando n como o número de intervalos de capitalização, com juros de 1/ n em cada intervalo, o limite para grande n é o número que veio a ser conhecido como e; com composição contínua, o valor da conta vai chegar a US $ 2.7182818 .... De modo mais geral, uma conta que começa em US $ 1, e os rendimentos (R) 1+ dólares em juros simples, e vai render ^R dólares com composição contínua.

Tentativas de Bernoulli

O número em si e também tem aplicações para a teoria da probabilidade , onde ela surge de uma forma não obviamente relacionado com o crescimento exponencial. Suponha que um jogador joga uma slot machine que paga com uma probabilidade de um em n e joga-lo n vezes. Então, para grande n (como um milhão) a probabilidade de que o jogador vai ganhar nada é (aproximadamente) e 1/.

Este é um exemplo de um Processo de ensaios de Bernoulli. Cada vez que o jogador joga os entalhes, há uma em um milhão possibilidade de ganhar. Jogando um milhão de vezes é modelado pela distribuição binomial , que está intimamente relacionada com a teorema binomial. A probabilidade de ganhar k vezes fora de um milhão de ensaios é;

Em particular, a probabilidade de ganhar zero vezes (k = 0) é

Isto é muito próximo para o seguinte limite para 1/ e:

Desarranjos

Outra aplicação e, também descobriu em parte por Jacob Bernoulli, juntamente com Pierre Raymond de Montmort está no problema da desarranjos, também conhecido como o problema de seleção chapéu. Aqui n os hóspedes são convidados a uma festa, e na porta cada hóspede verifica o chapéu com o mordomo que, em seguida, coloca-los em caixas etiquetadas. Mas o mordomo não sabe o nome dos convidados, e por isso deve colocá-los em caixas, seleccionadas aleatoriamente. O problema da de Montmort é: qual é a probabilidade de que nenhum dos chapéus é colocado na caixa à direita. A resposta é:

À medida que o número n de hóspedes tende para o infinito, p e _n se aproxima 1/. Além disso, o número de maneiras os chapéus podem ser colocados nas caixas de modo que nenhum dos chapéus é na caixa à direita é exatamente n! / E, arredondado para o número inteiro mais próximo.

Asymptotics

O número de e ocorre naturalmente em conexão com muitos problemas que envolvem asymptotics. Um exemplo proeminente é A fórmula de Stirling para os asymptotics da função fatorial , em que ambos os números e e π entrar:

Uma consequência desta situação é

e em cálculo

O log natural da e, ln (e), é igual a 1

A principal motivação para a introdução do número e, em particular no cálculo , é a realização de diferencial e cálculo integral com funções exponenciais e logaritmos . A função exponencial y = a ^x geral tenha derivado dado como o limite :

O limite no lado da mão direita é independente da variável x: depende apenas de uma base. Quando a base é o e, este limite é igual a um, e assim é simbolicamente e definido pela equação:

Por conseguinte, a função exponencial com base e é particularmente adequado para fazer o cálculo. A escolha e, em oposição a qualquer outro número, tal como a base da função exponencial faz com que o derivado de cálculos que envolvem muito mais simples.

Outra motivação vem considerando a base- um logaritmo . Considerando a definição do derivado de _um log x como o limite:

Mais uma vez, há um limite indeterminada que depende apenas da base de uma, e se essa base é de e, o limite é uma. Assim, simbolicamente,

O logaritmo em especial esta base é chamado o logaritmo natural (muitas vezes representada como "ln"), e também se comporta bem no âmbito diferenciação, uma vez que não há limite indeterminada para realizar os cálculos.

Há, portanto, duas maneiras de selecionar um número especial a = e. Uma maneira é definir a derivada da função exponencial um ^x para um ^x. A outra forma é a de definir o derivado da base de um logaritmo de 1 / x. Em cada caso, chega-se a uma escolha conveniente de base para fazer o cálculo. Na verdade, estas duas bases são, na verdade, o mesmo, o número de e.

Caracterizações alternativas

Outras caracterizações de e também são possíveis: um é como o limite de uma sequência, o outro é como a soma de um séries infinitas, e outros ainda dependem de cálculo integral . Até agora, as duas propriedades (equivalentes) seguintes foram introduzidos:

1. O número e é o único positivo número real tal que

2. O número e é o número real positivo exclusivo de tal forma que

Os três seguintes caracterizações pode ser equivalente comprovado:

3. O número e é o limite

A área sob o gráfico de y = 1 / x é igual a 1 ao longo do intervalo 1 ≤ x ≤ e.

4. O número de e é a soma da série infinita

em que n! é o fatorial de n.

5. O número e é o número real positivo exclusivo de tal forma que

.

Propriedades

Cálculo

Tal como na motivação, o função exponencial f (x) = e ^x é importante em parte porque é a única função não trivial (até à multiplicação por uma constante) que é próprio derivado

e, portanto, a sua própria antiderivada assim:

Funções exponenciais semelhantes

O número x = e é onde a global máximo ocorre para a função:

Mais geralmente, é onde ocorre o máximo global para a função

O infinito tetration

apenas se converge devido a um teorema de Leonhard Euler .

Finalmente, a função exponencial e ^x é geralmente definida como

Teoria dos números

O número real e é irracional (veja e prova de que é irracional), e, além disso, é transcendental ( Teorema Lindemann-Weierstrass). Foi o primeiro número a ser provado transcendental sem ter sido especificamente construído para essa finalidade (compare com Número Liouville). A prova foi dada por Charles Hermite em 1873. Conjectura-se a ser normal.

Os números complexos

Possui em A fórmula de Euler, uma fórmula importante relacionado com números complexos :

O caso especial com x = π é conhecida como identidade de Euler :

do qual resulta que, no ramo principal do logaritmo,

Além disso, utilizando as leis para a exponenciação,

qual é A fórmula de de Moivre.

Representações e

O número de e pode ser representado como um número real em uma variedade de formas: como um série infinita, uma produto infinito, um fracção contínua, ou uma limite de uma seqüência. O chefe entre essas representações, particularmente na introdução de cálculo cursos é o limite

dada acima, bem como a série

dado avaliando a série de potência acima para o e ^x em x = 1.

Ainda outras representações menos comuns também estão disponíveis. Por exemplo, e pode ser representado como um infinito fração contínua simples:

Ou, numa forma mais compacta (sequência A003417 em OEIS ):

Que pode ser escrita mais harmoniosa ao permitir que zero:

Muitas outras séries, sequência, fracção contínua, e as representações de produtos infinitas e também foram desenvolvidos.

Representações e estocásticos de

Além das expressões analíticas determinísticos para representação de e, como descrito acima, existem alguns protocolos estocásticos para a estimativa de e. Em um tal protocolo, amostras aleatórias de tamanho n do distribuição uniforme em (0, 1) são usadas para aproximar e. Se

em seguida, a expectativa de L e é: . Assim médias amostrais das variáveis U irá aproximar e.

Dígitos conhecidas

O número de dígitos conhecidos do e tem aumentado dramaticamente nas últimas décadas. Isto é devido tanto para o aumento do desempenho de computadores, bem como a melhorias algorítmicos.

e na cultura do computador

Em contemporânea internet cultura, pessoas e organizações freqüentemente homenagear o número e.

Por exemplo, no IPO declaração de Google , em 2004, em vez de uma quantidade típica-número redondo de dinheiro, a empresa anunciou a sua intenção de levantar $ 2718281828, que é e bilhões de dólares para o dólar mais próximo. O Google também foi responsável por um cartaz misterioso que apareceu no coração de Silicon Valley, e mais tarde em Cambridge, Massachusetts; Seattle, Washington ; e Austin, Texas. Dizia {primeiro primo de 10 dígitos encontrado em dígitos consecutivos de e} .com. Resolver este problema e visitar o web site anunciado levou a um problema ainda mais difícil de resolver, que por sua vez leva a Google Labs, onde o visitante é convidado a enviar um currículo. O primeiro primo de 10 dígitos no e é 7427466391, que começa no 99 dígitos. (Um fluxo aleatório de dígitos tem uma chance de 98,4% de começar um primo de 10 dígitos mais cedo.)

Em outro exemplo, o eminente computador cientista Donald Knuth deixar os números de versão de seu programa METAFONT abordagem e. As versões são 2, 2,7, 2,71, 2,718, e assim por diante.