Noyau (mathématiques)

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En algèbre, le noyau d'une application linéaire définie sur un espace vectoriel est l'ensemble des éléments de cet espace tels que leur image par cette application est le vecteur nul.

Autrement dit, soit ${\displaystyle f}$ une application linéaire qui va de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .
Alors ${\displaystyle \ker \left(f\right)=\left\{x\in E/f\left(x\right)=0_{F}\right\}}$

Propriétés

Soit ${\displaystyle f}$ une application linéaire qui va de l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à l'ensemble ${\displaystyle \mathbb {F} }$ .

• ${\displaystyle Ker(f)}$ est un sous-espace vectoriel de ${\displaystyle \mathbb {E} }$
• ${\displaystyle f}$ est injective si et seulement si ${\displaystyle Ker(f)}$ ne contient que le vecteur nul dans ${\displaystyle E}$ , c'est-à-dire :
  

${\displaystyle \forall (x,y)\in E\times F,\left(f\left(x\right)=f\left(y\right)\Rightarrow x=y\right)\left(=\right)\ker \left(f\right)=\left\{0_{E}\right\}}$

Voir aussi

• Théorème du rang

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