Trace (mathématiques)

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Mots compliqués

1. Matrice : tableau avec des nombres (appelés éléments)
2. Élément (d'une matrice) : nombre d'une matrice. Sur une matrice, on parle d'élément pour décrire un nombre sur une matrice
3. Matrice identité : matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 sinon. Elle est de la forme ${\displaystyle I_{n}={\begin{pmatrix}1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &1\end{pmatrix}}}$ . Exemples : ${\displaystyle I_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle I_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$
4. Transposée d'une matrice : matrice dont les éléments des lignes et des colonnes sont inversées. Exemple : la transposée de ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}}$ est ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\\\end{pmatrix}}}$ .

En algèbre, la trace d'une matrice ${\displaystyle M}$ , notée ${\displaystyle Tr(M)}$ , est la somme  des éléments  diagonaux de cette matrice.

Définition

Soit ${\displaystyle M}$ une matrice carrée de dimension  ${\displaystyle n}$ et on note ${\displaystyle M=(m_{i\,j})_{1\leq i,j\leq n}}$ . Alors :
${\displaystyle \mathrm {Tr} (M)=\sum _{i=1}^{n}m_{i\,i}}$ (${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i\,i}}$ veut dire la somme de i variant de 1 à n des éléments en position i i, c'est à dire qu'on prend les nombres, de la diagonale de la matrice pour les additionner.

Exemple

Soit ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\alpha &\beta &\gamma \\\epsilon &\zeta &\theta \\\lambda &\mu &\Lambda \end{pmatrix}}}$ . Alors ${\displaystyle Tr(M)=\alpha +\zeta +\Lambda }$

Par exemple : sur la matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{pmatrix}}}$ , la trace est ${\displaystyle Tr(A)=1+5+9=15}$ .

Autres exemples

• La trace de la matrice identité vaut la dimension de cette matrice, puisqu'elle somme tous les 1 sur sa diagonale. La trace d'une matrice nulle est nulle.
• La trace d'une matrice est égale à la trace de sa transposée (car les éléments des lignes et les colonnes de la matrice sont inversées donc les éléments diagonaux ne changent pas entre la matrice et sa transposée).
• La trace d'un projecteur est égale à son rang.

Propriétés

• La trace est une forme linéaire.
• La trace d'un endomorphisme dans une base renvoie à la trace de sa matrice dans cette base.

Autres propriétés

• Le noyau de la trace est un hyperplan de ℳ_n(K).

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