Como Fatorar Trinômios

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Um trinômio é uma expressão algébrica composta de três termos. Provavelmente, você aprenderá a fatorar trinômios quadráticos, que são trinômios escritos na forma ax² + bx + c. Existem diversos truques que podem ser aplicados a diferentes tipos de trinômios quadráticos, mas você vai ficar melhor e mais rápido com a prática. Os polinômios de graus maiores, com termos como³ ou x⁴, nem sempre podem ser resolvidos com os mesmos métodos, mas você pode muitas vezes recorrer à fatoração simples ou à substituição de termos para transformá-los em problemas que possam ser solucionados com qualquer fórmula quadrática.

Método 1

Método 1 de 3:
Fatorando x² + bx + c

1
Aprenda a propriedade distributiva (também conhecida como FOIL em inglês), para multiplicar expressões como (x+2)(x+4). Antes de começar a fatorar, é bom saber como isso funciona:
- Multiplique os primeiros termos: (x+2)(x+4) = x² + __
- Multiplique os termos de fora: (x+2)(x+4) = x²+4x + __
- Multiplique os termos de dentro: (x+2)(x+4) = x²+4x+2x + __
- Multiplique os últimos termos: (x+2)(x+4) = x²+4x+2x+8
- Simplifique: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8
2
Entenda a fatoração. Quando você multiplica dois binômios entre si usando a distributiva, acaba com um trinômio (uma expressão com três termos) na forma ax²+bx+c, na qual “a”, “b” e “c” são números comuns. Se você começar com uma equação na mesma forma, é possível fatorá-la, transformando-a de volta em dois binômios.
- Se a equação não estiver escrita nessa ordem, leve os termos para a posição adequada. Por exemplo, reescreva 3x - 10 + x² como x² + 3x - 10.
- Como o maior expoente é 2 (x²), essa expressão é chamada de "quadrática".
3
Reserve um espaço para a resposta do método apresentado. Por ora, basta escrever (__ __) (__ __) no espaço dedicado à resposta. Preencheremos esses campos em breve.
- Não coloque sinais de + ou – entre os termos em branco ainda, pois não sabemos qual será usado.
4
Preencha os primeiros termos. Em problemas simples, nos quais o primeiro termo de seu trinômio é apenas x², os termos da primeira posição sempre serão x e x. Esses são os fatores de x², pois x vezes x = x².
- O nosso exemplo, x² + 3x - 10, começa com x², então podemos escrever:
- (x __)(x __)
- Veremos problemas mais elaborados na próxima seção, incluindo trinômios que começam com um termo como 6x²ou -x². Por enquanto, acompanhe o problema do exemplo.
5
Use a fatoração para adivinhar os últimos termos. Se você voltar e reler o método usado inicialmente, verá que multiplicar os últimos termos dá o termo final no polinômio (aquele sem nenhum x). Portanto, para fatorar, precisamos encontrar dois números que se multipliquem para formar o último termo.
- Em nosso exemplo, x² + 3x - 10, o último termo é -10.
- Quais são os fatores de -10? Quais dois números multiplicados entre si resultam em -10?
- Há algumas possibilidades: -1 vezes 10, 1 vez -10, -2 vezes 5, ou 2 vezes -5. Anote esses pares em algum lugar para não esquecer.
- Não altere a resposta ainda. Ela ainda tem esta aparência: (x __)(x __).
6
Teste quais possibilidades funcionam com a multiplicação de fora e de dentro. Nós reduzimos os últimos termos a poucas possibilidades. Teste cada uma delas multiplicando os termos externos e internos, então comparando o resultado com o nosso trinômio. Por exemplo:
- O termo com "x" do nosso problema original é "3x", então é a esse valor que queremos chegar no teste.
- Teste -1 e 10: (x-1)(x+10). Valor de fora + de dentro = 10x - x = 9x. Não.
- Teste 1 e -10: (x+1)(x-10). -10x + x = -9x. Isso não está certo. Na verdade, depois de testar -1 e 10, você sabe que a resposta 1 e -10 será apenas o oposto do resultado acima: -9x, ao invés de 9x.
- Teste -2 e 5: (x-2)(x+5). 5x - 2x = 3x. Isso coincide com o polinômio original, então essa é a resposta correta: (x-2)(x+5).
- Em casos simples como esse, quando não há uma constante na frente do x², você pode usar um atalho: basta somar os dois fatores e colocar um "x" depois (-2+5 → 3x). Isso não vai funcionar com problemas mais complicados, por isso é bom se lembrar do caminho completo descrito acima.
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Método 2

Método 2 de 3:
Fatorando trinômios mais elaborados

1
Recorra à fatoração simples para facilitar os problemas mais elaborados. Digamos que você precise fatorar 3x² + 9x - 30. Procure um número que fatore todos os três termos (o "máximo divisor comum" deles, ou MDC).^{[1]
X
Fonte de pesquisa} Nesse caso, é 3:
- 3x² = (3)(x²)
- 9x = (3)(3x)
- -30 = (3)(-10)
- Portanto, 3x² + 9x - 30 = (3)(x²+3x-10). Nós podemos fatorar o novo trinômio usando os passos do início deste artigo. A resposta será (3)(x-2)(x+5).
2
Procure fatores mais elaborados. Às vezes, o fator pode envolver variáveis, ou talvez você precise fatorar algumas vezes até encontrar a expressão mais simples possível. Aqui estão alguns exemplos:
- 2x²y + 14xy + 24y = (2y)(x² + 7x + 12)
- x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² + 11x - 26)
- -x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
- Não se esqueça de fatorar o novo trinômio mais uma vez, usando as etapas do início. Confira a sua resposta e encontre problemas semelhantes de exemplo perto do final deste artigo.
3
Resolva problemas com um número na frente do x². Alguns trinômios quadráticos não podem ser simplificados até alcançar o tipo de problema mais fácil. Aprenda a resolver problemas como 3x² + 10x + 8 e, em seguida, pratique sozinho com os problemas de exemplo no final deste artigo:
- Monte a resposta: (__ __)(__ __)
- Os primeiros termos têm um "x" cada e, quando multiplicados, resultam em 3x². Há somente uma opção possível aqui: (3x __)(x __).
- Liste os fatores de 8. Nossas opções são 1 vezes 8, ou 2 vezes 4.
- Teste-os usando os termos de fora e de dentro. Perceba que a ordem dos fatores importa, uma vez que o termo de fora está sendo multiplicado por "3x", não por "x". Experimente todas as possibilidades até chegar a um resultado de fora + dentro de 10x (de acordo com o problema original):
- (3x+1)(x+8) → 24x+x = 25x Não.
- (3x+8)(x+1) → 3x+8x = 11x Não.
- (3x+2)(x+4) → 12x+2x=14x Não.
- (3x+4)(x+2) → 6x+4x=10x Sim, esse é o fator correto.
4
Recorra à substituição por trinômios de grau mais elevado. Seu livro de matemática pode surpreendê-lo com uma equação de expoente alto x⁴, mesmo depois de já ter usado a fatoração simples para facilitar o problema. Tente substituir por uma nova variável que transforme a equação em algo que você saiba resolver. Por exemplo:
- x⁵+13x³+36x
- =(x)(x⁴+13x²+36)
- Vamos inventar uma nova variável. Diremos que y = x² e faremos as substituições:
- (x)(y²+13y+36)
- =(x)(y+9)(y+4). Agora, volte a usar a variável original:
- =(x)(x²+9)(x²+4)
- =(x)(x±3)(x±2)
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Método 3

Método 3 de 3:
Fatorando casos especiais

1
Procure por números primos. Verifique se a constante no primeiro ou no terceiro termo do trinômio é um número primo. Um número primo só pode ser dividido igualmente por si mesmo e por 1, portanto há apenas um par possível de fatores binomiais.br>
- Por exemplo, em x² + 6x + 5, "5" é um número primo, portanto o binômio deve ficar assim: (__ 5)(__ 1).
- No problema 3x²+10x+8, 3 é um número primo, portanto o binômio deve ficar assim: (3x __)(x __).
- Para o problema 3x²+4x+1, tanto "3" como "1" são números primos, portanto a única solução possível é (3x+1)(x+1). (Você ainda deve realizar essa multiplicação para conferir seu cálculo, pois algumas expressões não podem ser fatoradas – por exemplo, 3x2 + 100x + 1 não tem fatores).
2
Verifique se o trinômio é um quadrado perfeito. Um trinômio quadrado perfeito pode ser fatorado em dois binômios idênticos, e o fator geralmente é escrito como (x+1)², em vez de (x+1)(x+1). Aqui estão alguns comuns que tendem a aparecer em problemas:
- x²+2x+1=(x+1)², and x²-2x+1=(x-1)²
- x²+4x+4=(x+2)², and x²-4x+4=(x-2)²
- x²+6x+9=(x+3)², and x²-6x+9=(x-3)²
- Em um trinômio quadrado perfeito na forma de ax² + bx + c, os termos "a" e "c" sempre são quadrados perfeitos positivos (como 1, 4, 9, 16 ou 25), e o termo b (positivo ou negativo) é sempre igual a 2(√a * √c).^{[2]
  X
  Fonte de pesquisa}
3
Verifique se não existe solução. Nem todos os trinômios podem ser fatorados. Se você estiver empacado em um trinômio quadrático (ax²+bx+c), use a fórmula quadrática para encontrar o resultado. Se as únicas respostas forem a raiz quadrada de um número negativo, então não existe uma solução real, portanto não há fatores.
- Para trinômios não quadráticos, use o critério de Eisenstein, que é descrito na seção de dicas.
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Respostas e Exemplos de Problemas

Respostas para os problemas de fatoração mais elaborados. Esses são os problemas da parte sobre trinômios “mais elaborados”. Nós já os simplificamos, tornando-os um problema mais fácil. Agora, tente resolvê-los usando os passos do início, então confira seus cálculos aqui:
- (2y)(x² + 7x + 12) = (x+3)(x+4)
- (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13)(x-2)
- (-1)(x² - 6x + 9) = (x-3)(x-3) = (x-3)²
Tente resolver problemas de fatoração mais complexos. Esses problemas têm um fator comum em cada termo que precisa ser fatorado primeiro. Destaque o espaço após os sinais de igual para ver a resposta e confira seus cálculos aqui:
- 3x³+3x²-6x = (3x)(x+2)(x-1) ← destaque esse espaço para ver sua resposta
- -5x³y²+30x²y²-25y²x = (-5xy^2)(x-5)(x-1)
Pratique com problemas difíceis. Esses problemas não podem ser fatorados em equações mais fáceis, então você vai precisar elaborar uma resposta na forma de (_x + __)(_x + __) através de testes:
- 2x²+3x-5 = (2x+5)(x-1) ← destaque para ver a resposta
- 9x²+6x+1 = (3x+1)(3x+1)=(3x+1)² (Dica: talvez seja necessário tentar mais de um par de fatores para 9x).

Dicas

Se você não souber fatorar um trinômio quadrático (ax²+bx+c), pode usar a fórmula quadrática para encontrar o valor de x.
Embora você não precise saber como fazer isso, é possível usar o critério de Eisenstein para determinar rapidamente se um polinômio é irredutível e não pode ser fatorado. Esse critério se aplica a qualquer polinômio, mas funciona particularmente bem com trinômios. Se houver um número primo "p" que divida igualmente os dois últimos termos e satisfaça às seguintes condições, então o polinômio é irredutível:
- O termo constante (sem variável) é um múltiplo de p, mas não de p².
- O termo principal (por exemplo, "a" em ax²+bx+c) não é um múltiplo de p.
- Por exemplo, 14x² + 45x + 51 é irredutível, pois há um número primo (3) que divide igualmente 45 e 51, mas não 14, e 51 não pode ser dividido igualmente por 3².

Avisos

Embora isso seja válido para equações quadráticas, os trinômios fatoráveis não são necessariamente o produto de dois binômios. Por exemplo: x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2)(x² - 5x + 23).