Como Resolver Potências com Expoentes Decimais

Coescrito por Equipe wikiHow

Calcular potências é uma habilidade básica que os estudantes aprendem na Pré-Álgebra. Geralmente, você as vê como números inteiros e, em alguns casos, como frações. Muito raramente, no entanto, elas estarão escritas em formato decimal. Nesses casos, é necessário converter o valor em fração e, com a ajuda de alguma das diversas regras e leis relativas às potências, será finalmente possível calcular a expressão analisada.

Método 1

Método 1 de 3:
Calculando uma potência decimal

1
Converta o decimal em fração. Para isso, observe o posicionamento da vírgula. O denominador da fração estará no valor inteiro, enquanto os dígitos representarão o numerador.^{[1]
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- Por exemplo, no caso da expressão exponencial $81^{0,75}$ , é preciso converter $0,75$ em fração. Como o decimal chega à casa das centenas, a fração correspondente será ${\frac {75}{100}}$ .
2
Simplifique-a, se possível. Como se tomará uma raiz correspondendo ao denominador da fração do expoente, é importante que o denominador seja tão pequeno quanto possível. Para isso, simplifique a fração. Se ela for um número misto (potência com decimal maior que $1$ $1$ ), reescreva-a como fração imprópria.
- Exemplo: a fração ${\frac {75}{100}}$ é reduzida a ${\frac {3}{4}}$ , de modo que $81^{0,75}=81^{\frac {3}{4}}$
3
Reescreva a potência como uma expressão de multiplicação. Para isso, transforme o numerador em um número inteiro e multiplique-o pela fração unitária. Essa é a fração de mesmo denominador, mas tendo $1$ $1$ como numerador.
- Exemplo: uma vez que ${\frac {3}{4}}={\frac {1}{4}}\times 3$ , você pode reescrever a expressão exponencial como $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}$
4
Reescreva o expoente como potência de uma potência. Lembre-se de que multiplicar dois expoentes é como elevar uma potência a outra. Desse modo, $x^{\frac {1}{b}}\times a$ $x^{{{\frac {1}{b}}}}\times a$ se torna $(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ $(x^{{{\frac {1}{b}}}})^{{a}}$ ^{[2]
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- Exemplo: $81^{{\frac {1}{4}}\times 3}=(81^{\frac {1}{4}})^{3}$
5
Reescreva a base em forma de expressão radical. Extrair um número por seu expoente racional é o mesmo que tirar sua raiz. Desse modo, reescreva a base e a primeira potência em forma de expressão radical.
- Exemplo: uma vez que $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}$ , é possível reescrever a expressão como $({\sqrt[{4}]{81}})^{3}$ ^{[3]
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Calcule a expressão radical. Lembre-se de que o índice (pequeno número fora do radical) indica qual raiz deve ser observada. Se os valores forem difíceis de trabalhar, a melhor forma de seguir é através da função ${\sqrt[{x}]{y}}$ ${\sqrt[ {x}]{y}}$ presente em uma calculadora científica.
- Exemplo: para calcular ${\sqrt[{4}]{81}}$ , você deve determinar qual número multiplicado quatro vezes será igual a $81$ . Uma vez que $3\times 3\times 3\times 3=81$ , você consegue determinar que ${\sqrt[{4}]{81}}=3$ . Por isso, a expressão exponencial se transforma em $3^{3}$ .
7
Calcule a potência remanescente. Você agora terá um número inteiro como potência, de modo que o cálculo será bastante direto. É sempre possível usar uma calculadora quando os números ficarem grandes demais.
- Exemplo: $3^{3}=3\times 3\times 3=27$ — desse modo, $81^{0,75}=27$
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Método 2

Método 2 de 3:
Resolvendo um exercício de fixação

1
Calcule a seguinte expressão exponencial: $256^{2,25}$
2
Converta o decimal em fração. Uma vez que $2,25$ $2,25$ é maior que $1$ $1$ , a fração será um número misto.
- O número decimal $0,25$ equivale a ${\frac {25}{100}}$ , de modo que $2,25=2{\frac {25}{100}}$
3
Se possível, simplifique a fração. Você deve ainda converter quaisquer números mistos em frações impróprias.
- Como ${\frac {25}{100}}$ se reduz a ${\frac {1}{4}}$ , é possível determinar que $2{\frac {25}{100}}=2{\frac {1}{4}}$
- Efetuando a conversão em fração imprópria, você terá ${\frac {9}{4}}$ . Desse modo, $256^{2,25}=256^{\frac {9}{4}}$
4
Reescreva a potência em forma de multiplicação. Uma vez que ${\frac {9}{4}}={\frac {1}{4}}\times 9$ , é possível reescrever a expressão como $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}$
5
Reescreva o expoente como potência de uma potência. Assim, $256^{{\frac {1}{4}}\times 9}=(256^{\frac {1}{4}})^{9}$
6
Reescreva a base em formato de radical. $256^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{256}}$ , sendo possível colocar a expressão como $({\sqrt[{4}]{256}})^{9}$
7
Calcule a expressão radical. Sendo ${\sqrt[{4}]{256}}$ , ela será agora expressa como $(4)^{9}$ .
8
Calcule a potência restante. Se $(4)^{9}=4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4\times 4=262.144$ , $256^{2,25}=262.144$

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Método 3

Método 3 de 3:
Entendendo as potências

1
Reconheça uma expressão exponencial. Ela será composta por uma base (o número maior) e uma potência (o número menor).^{[4]
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- Exemplo: na expressão $3^{4}$ , $3$ é a base e $4$ é a potência.
2
Identifique as partes de uma expressão exponencial. A base é o número sendo multiplicado. A potência, por sua vez, indica quantas vezes ele foi usado como fator na expressão.^{[5]
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- Exemplo: ${\begin{aligned}3^{4}&=3\times 3\times 3\times 3\\&=81\end{aligned}}$
3
Identifique um expoente racional. Ele também pode ser chamado de expoente fracional, sendo uma potência em forma de fração.^{[6]
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- Exemplo: $4^{\frac {1}{2}}$
4
Entenda a relação entre radicais e expoentes racionais. Elevar um número à potência ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ é como extrair a raiz quadrada do mesmo valor. Por isso, $x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}$ $x^{{{\frac {1}{2}}}}={\sqrt {x}}$ — o mesmo vale para outras raízes e potências. O denominador do expoente, por sua vez, indicará qual raiz deve ser tomada:^{[7]
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- $x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{x}}$
- $x^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{x}}$ $x^{{{\frac {1}{5}}}}={\sqrt[ {5}]{x}}$
  - Exemplo: $81^{\frac {1}{4}}={\sqrt[{4}]{81}}=3$ — você sabe que $3$ é a quarta raiz de $81$ , uma vez que $3\times 3\times 3\times 3=81$
5
Entenda a lei da potência de potência. Ela afirma que $(x^{a})^{b}=x^{ab}$ $(x^{{a}})^{{b}}=x^{{ab}}$ . Em outras palavras, elevar uma potência a outra equivale a multiplicá-las entre si.^{[8]
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Fonte de pesquisa}
- Ao trabalhar com potências racionais, a lei fica escrita em formato $x^{\frac {a}{b}}=(x^{\frac {1}{b}})^{a}$ , uma vez que ${\frac {1}{b}}\times a={\frac {a}{b}}$ ^{[9]
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  Fonte de pesquisa}
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