Daftar identitas logaritma

Logaritma
Logaritma
Domain dan Citra
Domain dari fungsi
Daerah hasil fungsi
Nilai-nilai spesifik
Nilai di
Nilai maksimum	Tidak ada
Nilai minimum	Tidak ada
Sifat khusus
Akar
Invers
Turunan
Antiturunan

Identitas logaritma atau dikenal sebagai hukum logaritma, ialah kumpulan rumus-rumus yang melibatkan logaritma dan bertujuan untuk mempermudah kalkulasi pada bentuk-bentuk yang cukup rumit.

Fungsi logaritma dapat didefinisikan sebagai

b^{x}=c\iff \,^{b}\!\log c=x

.

dimana $b$ adalah adalah basis atau bilangan pokok[1] dari logaritma, dengan syarat $0<b<1$ atau $b>1$ , $x$ adalah bilangan yang dilogaritmakan yang disebut dengan numerus[2], dan bilangan positif $c$ adalah hasil dari logaritma[2][1] yang disebut dengan antilogaritma.

Sebagai catatan, notasi logaritma yang dipakai dalam halaman ini tetap memiliki makna yang sama dengan $\log _{b}x$ , kendatipun notasinya berbeda.

Berikut adalah daftar identitas logaritma beserta dengan pembuktian-pembuktiannya, antara lain:

Sifat dasar

Sifat trivial

Salah satu yang paling mendasar dalam identitas logaritma, ialah $^{b}\!\log b=1$ , karena $b^{1}=b$ . Terdapat sifat dasar lain, yaitu

$^{b}\!\log 1=0$ , karena $b^{0}=1$ .
$^{b}\!\log b^{n}=n$ .

Sebagai pengecualian, logaritma dengan $b=0$ tidak memiliki nilai. Hasil limit dari $^{b}\!\log 0=-\infty$ ketika $b\to 0^{+}$ . Untuk memahami lebih lanjut mengenai konsep ini, lihat buktinya di sini.

Perkalian dan pembagian

$^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y$ [3]

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$ . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$ . Maka,

xy=b^{u+v}

.

Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga

^{b}\!\log xy=\,^{b}\!\log x^{u+v}=u+v=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare

.

Sifat ini dapat diperumum ke kasus dengan numerus merupakan hasil perkalian banyak suku,

^{b}\!\log \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\,^{b}\!\log x_{i}

.

$^{b}\!\log \left({\frac {x}{y}}\right)=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y$ [3]

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misalkan $^{b}\!\log x=u$ dan $^{b}\!\log y=v$ . Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen diperoleh $x=b^{u}$ dan $y=b^{v}$ . Maka, ${\frac {x}{y}}=a^{u-v}$

Ambil logaritma basis $a$ pada kedua ruas sehingga

^{b}\!\log {\frac {x}{y}}=\,^{b}\!\log x^{u-v}=u-v=\,^{b}\!\log x-\,^{b}\!\log y\quad \blacksquare

.

Penambahan dan pengurangan

$^{b}\!\log(x+y)=\,^{b}\!\log(x)+\,^{b}\!\log \left(1+{\frac {y}{x}}\right)$
$^{b}\!\log(x-y)=\,^{b}\!\log x+\,^{b}\!\log \left(1-{\frac {y}{x}}\right)$

Lebih umumnya lagi,

^{b}\!\log \left(\sum _{i=0}^{n}x_{i}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\,^{b}\!\log x_{0}+\,^{b}\!\log \left(1+\sum _{i=1}^{n}b^{\left(^{b}\!\log x_{i}-^{b}\!\log x_{0}\right)}\right)

.

Perubahan basis

Perubahan basis dapat dirumuskan sebagai

^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}

[3]

dengan syarat $0<p<1$ dan $p>1$ dan $p\neq 1$ , dengan mengikuti definisi logaritma.[4]

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Misal

^{b}\!\log x=y

. Dengan mengubah ke dalam bentuk eksponen, kita memperoleh

b^{y}=x

. Maka, kita tuliskan sebagai

^{p}\!\log x=^{p}\!\log b^{y}

Dengan menggunakan sifat sebelumnya, maka

{\begin{aligned}^{p}\!\log x&=y\,^{p}\!\log b\\y&={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\end{aligned}}

Substitusi kembali sehingga didapati

^{b}\!\log x={\frac {^{p}\!\log x}{^{p}\!\log b}}\quad \blacksquare

.[5]

Perkalian dan pembagian dalam basis logaritma

$^{bc}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}+{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}$
$^{\frac {b}{c}}\!\log x={\frac {1}{{\frac {1}{^{b}\!\log x}}-{\frac {1}{^{c}\!\log x}}}}$

Pertukaran basis

Pertukaran basis pada logaritma dapat dirumuskan sebagai

^{b}\!\log x={\frac {1}{^{x}\!\log b}}

.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Dengan menggunakan sifat perubahan basis, maka kita dapat memisalkan $p=x$ akan memperoleh

^{b}\!\log x={\frac {^{x}\!\log x}{^{x}\!\log b}}={\frac {1}{^{x}\!\log b}}

.

\blacksquare

Logaritma dalam eksponen

$x^{\frac {\log(\log x)}{\log x}}=\log x$ atau $x^{\frac {\log a}{\log x}}=a$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Menggunakan sifat perubahan basis, akan memperoleh

x^{\frac {\log a}{\log x}}=x^{^{x}\!\log a}=a

.

\blacksquare

Membatalkan eksponen

Sama halnya dengan penambahan dan pengurangan, maupun perkalian dan pembagian, logaritma dapat membatalkan eksponen karena kedua operasi tersebut saling invers. Secara matematis ini mengartikan,

b^{^{b}\!\log x}=x

karena

^{b}\!\operatorname {antilog} (\,^{b}\!\log x)=x

; dan

^{b}\!\log(b^{x})=x

karena

^{b}\!\log(\,^{b}\!\operatorname {antilog} x)=x

.[6]

Perhatikan bahwa sifat logaritma di atas dapat kita pakai untuk membuktikan bahwa $^{b}\!\log x^{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\,^{b}\!\log x$ .

Logaritma dengan basis lain

Logaritma natural

$\ln 1=0$
$\ln e=1$
$\ln e^{x}=x$
$e^{\ln x}=x$
$\ln xy=\ln x+\ln y$
$\ln {\frac {x}{y}}=\ln x-\ln y$

Logaritma dalam kalkulus

Limit

Untuk

b>1

, ketika

x\to 0^{+}

, maka grafik menunjukkan bahwa nilai yang diperoleh menuju

-\infty

dengan drastis dan ketika

x\to \infty

, maka menuju

\infty

secara perlahan.

$\lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=-\infty$
$\lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=\infty$

Untuk membuktikan limit tersebut, perhatikan grafik fungsi logaritma basis $b$ sembarang (untuk $b>1$ ). Sebagai catatan, untuk $0<b<1$ ,

$\lim _{x\to 0^{+}}\,^{b}\!\log x=\infty$
$\lim _{x\to \infty }\,^{b}\!\log x=-\infty$

Pembuktian yang serupa terhadap limit dari fungsi logaritma alami.

$\lim _{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty$
$\lim _{x\to \infty }\ln x=\infty$

Sebagai tambahan, berikut adalah identitas logaritma dalam limit.

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{c}\cdot \,^{b}\!\log x=0$ jika $c>0$
$\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {^{b}\!\log x}{x^{c}}}=0$ jika $c>0$

Turunan

Turunan logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}

, dengan

x>0

,

b>0

, dan

b\neq 1

.

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Perhatikan bahwa

y=\log _{b}x

jika dan hanya jika

x=b^{y}

,

maka kita memperoleh

\ln x=y\cdot \ln b

.

Dengan substitusi kembali, diperoleh

\log _{b}x={\frac {\ln x}{\ln b}}

.

Jika kita turunkan, maka kita mendapatkan

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}

[7]

Turunan dalam basis lain, antara lain

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln x={\frac {1}{x}}$

Integral

Integral logaritma dalam kalkulus dapat dirumuskan sebagai

\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\left(\log _{b}(x)-{\frac {1}{\ln(b)}}\right)+C

[8]

Integral dalam basis lain, antara lain

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C\,$

Klik 'tampil' untuk melihat bukti

Buktinya dapat kita pakai identitas integral terhadap logaritma, dengan memisalkan $b=e$ . Ada bukti lain, ialah integrasi parsial. Dengan memisalkan $u=\ln x$ , $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x$ , $\mathrm {d} u={\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x$ dan $v=x$ , maka

\int \ln x\,\mathrm {d} x=(\ln x)(x)-\int (x)\left({\frac {1}{x}}\right)\,\mathrm {d} x=x\ln x-\int \,\mathrm {d} x=x\ln x-x+C

.

\blacksquare

Sebagai catatan, halaman ini hanya menjelaskan dasar-dasarnya saja. Lihat Daftar integral dari fungsi logaritmik sebagai identitas adisionalnya.

Deret

$\ln(1+x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}}$

Pendekatan logaritma

$\log x\approx {\frac {x^{x}-1}{x}}$ [9]
$\log(1+x)\approx x$ [9]

Bentuk pecahan berlanjut

Logaritma alami

$\ln(1+x)={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}$

$\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}$

Lihat pula

Daftar identitas eksponensiasi

Rujukan

Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. 15.
Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.
Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.
Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.
"Antilogarithm". Wolfram MathWorld.
Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)
"Logarithm Rules". RapidTables.
"approximation of the log function". planetmath.org. Diakses tanggal 2013-03-22 15:18:38.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:1-1] Archangelia Maria Lelu, Desain Pembelajaran Pada Materi Fungsi Logaritma Menggunakan Pendekatan Pembelajaran Berbasis Masalah dan Hasil Pembelajaran Ditinjau dari Kemampuan Komunikasi Matematis Siswa Kelas X MIPA, hlm. 15.

[:0-2] Entis Sutisna, S.Pd, Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Matematika Peminatan Kelas X, hlm. 29.

[:2-3] Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.

[4] Referensinya (pada bagian definisi) mencakup di sini.

[5] Kanginan, Marthen; Nurdiansyah, Hadi; Akhmad, Ghany (2016). Matematika Untuk Siswa SMA/MA Kelas X. Yrama Widya. hlm. 74. ISBN 978-602-374-554-8.

[6] "Antilogarithm". Wolfram MathWorld.

[7] Dale Varberg, Edward Purcell, Steve Rigdon (2006). Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid 1. hlm. 336. (Penerjemah: I Nyoman Susila, Ph. D, Penerbit Erlangga)

[8] "Logarithm Rules". RapidTables.

[:3-9] "approximation of the log function". planetmath.org. Diakses tanggal 2013-03-22 15:18:38.

Identitas matematika
Berdasarkan daftar topik	Eksponensiasi Fungsi bilangan bulat terbesar dan terkecil Kalkulus eksterior Logaritma Notasi kapital Pi Notasi Sigma Trigonometri Vektor kalkulus
Berdasarkan nama tokoh	Bezout Candido Cassini dan Catalan Euler Lagrange Pythagoras Vandermonde