Fraction/Division

Inverse d’une fraction

Exemple : Calculer ${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}$

Solution

${\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {2\times 3}{3\times 2}}={\frac {\not 2\times 3}{3\times \not 2}}={\frac {3}{3}}=1$

Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1

${\frac {2}{3}}$ est donc l'inverse de ${\frac {3}{2}}$

${\frac {3}{2}}$ est donc l'inverse de ${\frac {2}{3}}$

Pour trouver l'inverse d’une fraction, il suffit donc d'échanger numérateur et dénominateur.

Théorème : inverse d’une fraction

L'inverse de ${\frac {a}{b}}$ est ${\frac {b}{a}}$

Faites des exercices pour apprendre à calculer des inverses

Division de fractions

L'inverse de 4 est ${\frac {1}{4}}$

Calculons :

$3\times {\frac {1}{4}}={\frac {3\times 1}{4}}={\frac {3}{4}}$

On généralise pour obtenir le :

Théorème : diviser par un nombre revient à le multiplier par son inverse

Théorème : diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse

${\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}$

Exercice: division de deux fractions

Calculer sous forme de fraction en appliquant le théorème :

${\frac {4}{5}} \over {\frac {7}{8}}$

Solution

${\frac {\frac {4}{5}}{\frac {7}{8}}}={\frac {4}{5}}\times {\frac {8}{7}}={\frac {4\times 8}{5\times 7}}={\frac {32}{35}}$

Que penser de la règle : diviser deux fractions entre elles revient à diviser les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ?

Il suffit pour cela d'écrire cette opération : ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}$
Or, on sait que diviser par un nombre (s'il est non nul), revient à multiplier par son inverse. On peut donc écrire : ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}$ , puis :
${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}={\frac {a\times d}{b\times c}}$ .

Enfin, comme $a\times b=b\times a$ , on a :
${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {d}{b}}$ , ou ${\frac {a}{b}}/{\frac {c}{d}}={\frac {a}{c}}\times {\frac {1}{\frac {b}{d}}}$

Cette règle est donc vérifiée (vraie).

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